l16_2014_02_19
.pdf
Для численных оценок полезно ввести параметр rs - радиус сферы, объем которой равен объему, приходящемуся на один электрон проводимости
|
|
|
V |
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
r |
|
3 3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
n |
|
|
|
3 |
s |
|
|
|
|
s |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 n |
||||||
kF |
3 2n 13 |
|
9 /4 |
13 |
|
1.92 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
rs |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rs |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
0.529 10 8 |
см |
Боровский радиус, т.е. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
радиус атома водорода в |
||||||||||||||||||||
0 |
|
me2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основном состоянии |
|||||||||
|
|
kF |
3.63 |
|
|
|
Å-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
r /a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
для большинства металлов |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
rs a0 находится между 2-мя и 6-ю |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
волновой вектор Ферми имеет порядок одного обратного ангстрема, а соответствующая волна де Бройля - одного ангстрема
Итак, де-бройлевская длина волны электрона в металле с волновым вектором порядка фермиевского волнового вектора
оказывается порядка постоянной решетки
Существенны эффекты дифракции электронов на периодическом потенциале кристаллической решетки
Скорость Ферми: v |
|
|
|
|
|
4.20 |
|
8 |
|
||
F |
|
|
k |
F |
|
|
|
10 |
|
см/с ~ 4000000км/ч |
|
|
r |
|
|
||||||||
|
m |
|
a |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
s |
0 |
|
|
|
Это при Т=0, когда в классическом газе скорости всех частиц равны нулю!
Энергия Ферми:
e2 Ry 13.6эВ 2a0
|
2k2 |
|
e2 |
|
kFa0 |
|
2 |
F |
F |
|
|
|
|
||
2m |
2a0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
- Ридберг (энергия связи основного состояния атома водорода, удобная единица для измерения атомных энергий)
EF |
50.1эВ |
~ 5 15эВ kBT при комнатной температуре |
rs /a0 2 |
Найдем энергию основного состояния N электронов в объеме V:
E 2 |
2 |
k |
2 |
Суммируем энергию по всем одноэлектронным |
2m |
|
уровням внутри сферы Ферми |
||
k kF |
|
|
Математическое отступление об интегрировании в k-пространстве
Устремим нормировочный объем V из граничных условий Борна-Кармана к бесконечности. При этом число разрешенных волновых векторов в зоне Бриллюэна тоже будет стремиться к бесконечности. Это значит, что во всех формулах от суммирования по дискретным состояниям можно перейти к интегрированию по k-пространству.
Как это сделать?
Пусть есть сумма по разрешенным значениям k некоторой функции φ(k):
|
|
V |
|
|
|
(k) |
|
(k) 3k |
|||
(2 ) |
3 |
||||
k |
|
|
k |
|
Мы домножили и разделили сумму на 3k (2 )3
V- объем примитивной ячейки БК в обратном пространстве
Будем считать что функция φ(k) почти не меняется на интервале δk и перейдем к пределу k 0 (V )
(k)
k
|
V |
|
(k) |
3k |
Правило преобразования |
|
V |
|
(2 )3 |
|
|
суммы в интеграл |
|
Тогда плотность энергии электронного газа
E 2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2k2 |
|
|
ky |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
Δk |
|||||
V |
V k k |
2mk |
|
|
4 3 |
2m d |
|
k |
|
||
|
|
F |
|
|
|
|
k kF |
|
|
|
|
|
1 |
|
2k2 |
4 k2dk |
|
|
|
kx |
|||
4 3 |
2m |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k kF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2kF5
2 10m
Объем шарового слоя с малой толщиной Δk равен 4 k2 k
Найдем энергию основного состояния в расчете на один электрон. Для
этого поделим плотность энергии на плотность электронов n |
N |
k3 |
: |
|
|
|
F |
||
V |
|
|||
|
3 2 |
|
||
|
|
|
|
|
E |
|
|
3 2k2 |
3 |
|
|
3 |
k T , где |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
10 m |
|
F |
5 |
B F |
||||||||||
T |
|
EF |
|
58.2 |
|
104 K ~ (1-10) 104 K - Температура Ферми |
|||||||||||||
kB |
rs /a0 2 |
||||||||||||||||||
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В классическом газе энергия, приходящаяся на один электрон:
3
E 2kBT 0 при T 0
Контрольные вопросы
1.Закон Видемана-Франца?
2.Закон Фурье?
3.Чему равна теплопроводность идеального кристалла в гармоническом приближении?
4.В чем основное отличие теорий Друде и Зоммерфельда?
5.Волновая функция свободного электрона?
6.Собственные значения и собственные функции оператора импульса для свободного электрона?
7.Что такое длина волны Де Бройля электрона?
8.Сформулировать граничные условия Борна-Кармана
9.Чему равно число разрешенных состояний в первой зоне Бриллюэна?
10. Определение плотности состояний квазичастицы
11.Общий вид зависимости плотности состояний от энергии для 3-мерного квадратичного закона дисперсии
12.Сформулировать принцип Паули
13.Что такое поверхность Ферми?
14.Как радиус Фермиевской сферы зависит от плотности электронов?
15.От каких параметров зависит величина энергии Ферми для свободного электронного газа?
16.Распределение Ферми-Дирака?
Задачи новые
1.Найти выражение для плотности состояний свободных электронов (квадратичный закон дисперсии) для
1а) "двумерных" электронов (квантовая яма)
1б) "одномерных" электронов (квантовая проволока)
2.Определить для газа свободных и независимых электронов в
случае двух измерений соотношение между n и kF , а также величину химического потенциала μ
Задачи старые
1. Вычислить как функцию диэлектрических проницаемостей двух сред, разделенных интерфейсом металл-диэлектрик следующих величин:
|
|
E1r |
|
2 |
|
|
|
E |
|
2 |
|
|
Er |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Er|| |
|
|
|
|
E|| |
|
2 |
|
|
E2 |
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значки || и соответствуют параллельной и перпендикулярной к интерфейсу компонентам полей в ППП. Остальные обозначения – из лекции.