
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Принцип выбора Больцано-Вейштрасса. Распространение на случай пространства произвольной конечной размерности
- •Предел функции. Повторные пределы функции. Предел функции нескольких переменных
- •Определение
- •Равенство повторных пределов
- •Критерий Коши существования предела функции.
- •Непрерывность функции по совокупности переменных и по каждой переменной в отдельности.
- •Непрерывность и суперпозиция непрерывных функций.
- •2. Непрерывность сложной функции.
- •Теорема Коши о промежуточном значении функции, непрерывной на множестве.
- •Теорема Вейерштрасса о функциях, непрерывных на множествах. Теорема Вейерштрасса для непрерывных функций на компакте
- •Равномерная непрерывность функции нескольких переменных. Теорема Кантора.
- •Доказательство. Воспользуемся доказательством от противного.
- •Замечания
- •Частные производные от функции нескольких переменных.
- •Формула для полного приращения функции. Дифференцируемость функции в точке.
- •Функции нескольких переменных
- •Теорема о дифференцируемости сложной функции.
- •Связь между полным дифференциалом и полным приращением функции. Дифференциал функции
- •Связь дифференциала с частными производными
- •Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Производная от скалярной функции по данному направлению.
- •Градиент скалярной функции и его аналитическое выражение. Оператор «набла».
- •Определение
- •Частные производные высших порядков. Теорема о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования. Частные производные высших порядков
- •Основа теоремы о независимости смешанной производной от порядка дифференцирования
- •Полные дифференциалы высших порядков. Дифференциал высшего порядка функции нескольких переменных
- •Формула Тейлора для функции нескольких переменных.
- •Понятие неявной функции. Теорема о её существовании и дифференцируемости. Неявно заданная функция
- •Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно
- •Вычисление частных производных функция, заданных неявно.
- •Необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных. Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.
- •Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
- •Достаточные условия локального экстремума. Достаточные условия экстремума функции двух переменных
- •Исследование квадратичной формы для функции двух переменных. Метод вычисления критериев Сильвестера.
- •Понятие условного экстремума. Сведение условного экстремума к безусловному.
- •Метод неопределённых множителей Лагранжа.
- •Описание метода
- •Обоснование
- •Двумерный случай
Понятие неявной функции. Теорема о её существовании и дифференцируемости. Неявно заданная функция
Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).
Под неявным заданиемфункции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.
Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.
Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).
Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х,и полученное затем уравнение разрешить относительно у'.
Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.
Теорема существования и дифференцируемости функции, заданной неявно
Пусть функция F(x,y) удовлетворяет условиям
F(x0,y0) = 0 ;
частные производные F'xиF'yнепрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0) ;
F'y(x0,y0) ≠ 0 .
Тогда
уравнение F(x,y) = 0 определяет неявно в некоторой окрестности точкиx0 единственную непрерывную функциюy(x) , удовлетворяющую условиюy(x0) =y0 .
функция y(x) имеет производную, непрерывную в окрестности точкиx0 .
Выясним смысл условий теоремы.
Существование непрерывной неявной функции y=f(x) в окрестности точки (x0,y0) следует из теоремы существования, так как:
условие 1 гарантирует существование точки, координаты которой удовлетворяют уравнению F(x,y) = 0 ;
из условия 2 следует непрерывность функции F(x,y) в окрестности точки (x0,y0) , а из условия 3 — ее монотонность поyпри каждом фиксированномxиз этой окрестности.
Следовательно, условия 1–3 обеспечивают выполнение условий существования неявной функции y(x) , удовлетворяющей условиюy(x0) =y0 и непрерывной в окрестности точкиx0.
Вычисление частных производных функция, заданных неявно.
При
выполнении соответствующих условий,
уравнение
задает
неявно функцию
.
Это же уравнение может задавать неявно
функцию
или
.
Производная
неявной функции. При вычислении
производной неявной функции воспользуемся
правилом дифференцирования сложной
функции. Продифференцируем уравнение
:
. Отсюда получим формулу для производной
функции
,
заданной неявно:
.
Таким же способом нетрудно получить
формулы для частных производных функции
нескольких переменных, заданной неявно,
например, уравнением
:
,
.
Необходимые условия локального экстремума функции нескольких переменных. Локальный экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия безусловного локального экстремума.
Определение:
Пусть дана функция n-переменных
Пусть
дана точка M0
с координатами
,
точкаM0
называется локальным
max(min)
если
окр
точки M0
: x
окр
справедливо
(
x
окр ),окр
называется множество
(вn
мерном пространстве).
Точка локального max или min называются точкой экстремума.
Необходимые условия экстремума функции многих переменных.
Определение:
стационарной точки. Если функция
дифференцируема
в точкеM0
то необходимым условием существования
экстремума в этой точке является
требование ее стационарности:
(,
если
)
Стационарная точка – точка где все частные производные по всем аргументам равны 0.
Доказательство:
Зафиксируем все переменные оставив
только x1,
фиксируя любую другую переменную получаем тоже самое.
Определение: Необходимое условие экстремума.
В точке экстремума функции n-переменных дифференциал обращается в ноль.
Если
локальный экстремум
,
если
-
независимы
Замечание: если выполнено необходимое условие экстремума то она не обязательно является экстремумом.
Истина: Если точка – стационарная, то она не обязательно – экстремум , ВООБЩЕ ГОВОРЯ ! Экстремум же всегда является стационарной точкой!
Пример
:
(0,0),x>0,
y>0
z>0,
x<0,
y<0
z<0,
но dz
=0.