Замечания

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна на нём.

• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

32. Частные производные от функции нескольких переменных.

Частной производной поот функцииназывается предел отношения частного приращения этой функциипок приращению, когда последнее стремится к нулю:.

Частной производной поот функцииназывается предел отношения частного приращения этой функциипок приращению, когда последнее стремится к нулю:

.

Пусть задана функция . Если аргументусообщить приращение, а аргументу– приращение, то функцияполучит приращение, которое называетсяполным приращением функциии определяется формулой:.

Функция , полное приращениекоторой в данной точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых (выражения, линейного относительнои, и величины бесконечно малой высшего порядка относительно):

где истремятся к нулю, когдаистремятся к нулю (т.е. когда), называетсядифференцируемой в данной точке.

Линейная (относительно и) часть полного приращения функции называетсяполным дифференциаломи обозначается:, гдеи– дифференциалы независимых переменных, которые, по определению, равны соответствующим приращениями.

Частные производные от частных производных первого порядка называются частными производными второго порядка. Для функции двух переменныхих четыре:

32. Формула для полного приращения функции. Дифференцируемость функции в точке.

Полное приращение функции нескольких переменных - приращение, приобретаемое функцией, когда все аргументы получают (вообще говоря, ненулевые) приращения. Точнее, пусть функция f определена в окрестности точки

n-мерного пространства переменныхх ₁,. . .,х _п.Приращение

функции f в точке x⁽⁰⁾, где

называется полным приращением, если оно рассматривается как функция n всевозможных приращений Dx₁, . . ., Dx_nаргументовх ₁, . ..,х _п,подчиненных только условию, что точка x⁽⁰⁾+Dx принадлежит области определения функции f. Наряду с П. п. функции рассматриваются частные приращения Dx_kfфункции f в точке х⁽⁰⁾по переменнойх _k,т. е. такие приращения Df, для к-рых Dx _уj=0, j=1, 2, . . .,k-1, k+1, . . .,п, k -фиксировано (k=1, 2, . . ., п).Л. Д. Кудрявцев.

Функции нескольких переменных

Функция переменныхявляется дифференцируемой в точкесвоей области определения, если для любой точкисуществуют такие константы, что

где .

В этой записи функция

является дифференциалом функции в точке, а числаявляются частными производными функциив точке, то есть

где — вектор, все компоненты которого, кроме-ой, равны нулю, а-ая компонента равна 1.

Каждая дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке все частные производные, но не каждая функция, имеющая все частные производные, является дифференцируемой. Более того, существование частных производных в некоторой точке не гарантирует даже непрерывность функции в этой точке. В качестве такого примера можно рассмотреть функцию двух переменных , равнуюприипри. В начале координат обе частные производные существуют (равны нулю), но функция не является непрерывной.

Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему дифференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не выяснилось, что непрерывности частных производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в этой точке.