ТАУ отчёт №11

Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет

Факультет Технической Кибернетики

Кафедра Компьютерных Систем и Программных Технологий

ОТЧЁТ О ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №11

Дисциплина: Теория автоматического управления

Тема: Исследование автоколебаний в нелинейных системах

Вариант №3

Д.А. Киселёв Л.В. Бабко

Выполнил студент гр.4081/10

Преподаватель

Санкт-Петербург

2012

Цель работы:

Теоретическое и экспериментальное определение автоколебаний в нелинейных системах и условий их существования.

Исследуемая схема:

Блок Subsystem содержит линейную часть.

Исходные данные:

T₁ = 1 c; T₂ = 1 c; T₃ = 5 c; k = 30

Нелинейное звено №1:

Нелинейное звено №2:

c = 15; b = 1

1. Нелинейное звено №1

1.1. Теоретический расчёт колебаний в системе

Для существования периодических колебаний в замкнутой системе характеристическое уравнение системы должно иметь мнимые корни:

, где – амплитуда колебаний.

Коэффициенты гармонической линеаризации для данной нелинейности:

Выделим вещественную () и мнимую () части:

Частота колебаний:

Амплитуда колебаний:

Для устойчивости найденных периодических решений необходимо следующее:

1.2. Зависимость амплитуды автоколебаний от k

1.3. Зависимость автоколебаний от T₁

По полученным ранее формулам (п. 1.1) построим зависимость амплитуды от T₁:

Зависимость частоты от T₁:

1.4. Моделирование в Simulink

Схема моделирования:

В начальный момент времени на вход подаётся однократный импульс амплитудой 1 и длительностью 0.001 с. Это необходимо для того, чтобы в системе начались переходные процессы.

В блоке Subsystem находится модель линейной части системы:

В блоке Coulomb & Viscous Friction (сухое и вязкое трение) установлена величина сухого трения (Offset) = 15 и коэффициент вязкого трения (Gain) = 0.

Сигнал на выходе блока: y = sign(x) * (Gain * abs(x) + Offset)

Автоколебания на выходе системы при заданных параметрах:

Амплитуда колебаний отличается от теоретической (39.79) на 2.865%

Частота колебаний отличается от теоретической (1.183) на 1.86%

В данном случае экспериментально полученные колебания являются более точными, чем рассчитанные теоретически, так как метод гармонической линеаризации является приближенным, а Simulink моделирует заданную систему с очень высокой точностью.

1.5. Проверка выполнения условий применимости гармонической линеаризации

Посмотрим, как изменяется сигнал при прохождении через систему: снимем переходные процессы на выходах нелинейного звена и всех инерционных звеньев.

Отсюда видно, что линейная часть системы является фильтром низких частот, т.е. подавляет все высшие гармоники.

2. Нелинейное звено №2

2.1. Теоретический расчёт колебаний в системе

Для существования периодических колебаний в замкнутой системе характеристическое уравнение системы должно иметь мнимые корни:

, где – амплитуда колебаний.

Коэффициенты гармонической линеаризации для данной нелинейности:

С помощью Matlab построим графики и :

w = 0:0.001:1000;

WL = k./(1+j.*T1.*w)./(1+j.*T2.*w)./(1+j.*T3.*w);

figure

plot(WL)

hold on

a = 0:0.001:100;

WN = 4.*c./pi./a.*sqrt(1-(b/2)^2./a.^2)-j.*2.*c.*b./pi./a.^2;

plot(-1./WN)

grid on

Полученные графики:

Они пересекаются в точке ( -2.131; -j0.02618).

Методом подбора найдём амплитуду и частоту в этой точке. Будем строить , меняя частоту от нуля до некоторого значения, это значение подберём так, чтобы график доходил ровно до точки пересечения с графиком . Аналогично будем менять граничное значение амплитуды и строить график так, чтобы он доходил ровно до пересечения с . При и получим такую картинку (здесь увеличенный фрагмент):

При увеличении амплитуды комплексное число будет двигаться влево по комплексной плоскости, т.е. если дать положительное приращение найденному значению (40.704) амплитуды (), то график не будет охватывать полученную точку , а если дать ему отрицательное приращение (), то будет охватывать точку . Это значит, что полученное периодическое решение устойчиво.

2.2. Моделирование в Simulink

Схема моделирования:

В начальный момент времени на вход подаётся однократный импульс амплитудой 1 и длительностью 0.001 с. Это необходимо для того, чтобы в системе начались переходные процессы.

В блоке Subsystem находится модель линейной части системы:

Автоколебания на выходе системы при заданных параметрах:

Амплитуда колебаний отличается от теоретической (40.704) на 2.8%

Частота колебаний отличается от теоретической (1.17067) на 1.7%

В данном случае экспериментально полученные колебания являются более точными, чем рассчитанные теоретически, так как метод гармонической линеаризации является приближенным, а Simulink моделирует заданную систему с очень высокой точностью.

3. Выводы

В данной системе могут существовать периодические колебания, и они являются устойчивыми при любых параметрах системы (мягкий режим автоколебаний). По переходным процессам на выходах нелинейного звена и всех инерционных звеньев можно сказать, что линейная часть системы является фильтром низких частот, это означает, что для исследования данной системы может быть использован метод гармонической линеаризации. Кроме того, можно сказать, что амплитуда колебаний в данной системе зависит как от коэффициента усиления и всех инерционных звеньев линейной части, так и от нелинейного звена. Зависимость амплитуды от коэффициента усиления линейной части линейна. Частота колебаний зависит только от постоянных времени линейной части системы.