Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.

Рассмотрим произвольную плоскость . Проведем через начало координат О прямую n, Р=Ln – точка пересечения прямой n и плоскости . n –единичный вектор прямой n, его направление совпадает с направлением отрезка ОР (если точки О и Р совпадают, то направление вектора n выбирают произвольно).

Выразим уравнение плоскости  через следующие параметры: длину р отрезка ОР и углы ,  и  наклона вектора n к осям Ох, Оу и Оz соответственно.

Т.к. n – единичный вектор, то его координаты равны проекциям на оси координат: n={cos , cos , cos } (9)

Точка М(х,у,z) лежит на плоскости  тогда и только тогда, когда проекция вектора на ось, определяемую векторомn, равна р, т.е. при условии

пр_n=р (10)

Т.к. , то nпр_n=пр_n=n (11)

n=х cos +у cos + z cos  (12)

Из (10) и (12) следует, что точка М(х,у,z) лежит на плоскости  тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению:

х cos +у cos + z cos =р или

х cos +у cos + z cos -р=0 (13)– нормированное (нормальное) уравнение прямой.

Общее уравнение плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 можно преобразовать в нормальное.

Если плоскость задана общим уравнением Ах+Ву+Сz+D=0 и нормированным уравнением х cos +у cos + z cos -р=0, то найдется число t такое, что:

tА=cos , tB=cos , tC=cos , D= -p.

Возведя в квадрат первые три равенства и сложив их, получим: t²(A²+B²+С²)=1.

Тогда t=.

Т.к. всегда расстояние р0, то из равенства tD=-p заключаем, что знак t противоположен знаку D.

Т.о., для приведения общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0 к нормированному виду, следует умножить его на нормирующий множитель t=, знак которого противоположен знаку С.

Если D=0, то плоскость проходит через начало координат (р=0). В этом случае знак нормирующего множителя можно выбирать любым.

Отклонение точки от плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.

Даны плоскость  и произвольная точка и точка М₀(х₀;у₀;z₀), не лежащая на ней. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М₁(х₁;у₁;z₁), пусть d=ρ(M₀,L) – расстояние от точки М₀ до плоскости . Тогда (рисунок)

ρ(M₀,L)==(13) , т.к.=1.

Если плоскость  задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением: Ах+Ву+Сz+D=0, то ее нормальный вектор имеет координаты {А;В;C}. В качестве единичного нормального вектора можно выбрать n=.

Т.к. М₁(х₁;у₁;z₁), то выполняется равенство Ax₁+Ву₁+Сz₁+D=0.

={x₀-x₁;y₀-y₁;z₀-z₁}. Записывая скалярное произведение n в координатной форме, получаем:

ρ(M₀,L)====

=

d=ρ(M₀,Π)= (14)

Пример. Найти длину высоты треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин.

Найти расстояние между параллельными плоскостями.

Определение. Отклонением  точки М₀(х₀;у₀;z₀) от плоскости  называется число + d в случае, когда точка М₀ и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости , и число –d, когда точки М₀ и О лежат по одну сторону от плоскости .

Если начало координат О лежит на плоскости , то полагают отклонение равным +d в том случае, когда точка М₀ по ту сторону от , куда направлен нормальный вектор n, и равным -d в противном случае.

Теорема. (с. 142) Пусть плоскость  задана нормированным уравнением

х cos +у cos + z cos -р=0 (13). Тогда отклонение точки М₀(х₀;у₀;z₀) от плоскости , равно:

=х cos +у cos + z cos -р (14)

Формула (14) позволяет найти и расстояние от точки до плоскости.

Пример. Найти длину высоты пирамиды.