- •Уравнение поверхности в пространстве.
- •Классификация поверхностей.
- •Плоскость в пространстве.
- •Неполные уравнения плоскости.
- •Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
- •(4) Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки.
- •Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- •Нормированное (нормальное) уравнение плоскости.
- •Пучки и связки плоскостей.
- •Прямая в пространстве.
- •Общие уравнения прямой в пространстве.
- •Канонические уравнения прямой.
- •Параметрические уравнения прямой.
- •Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.
- •Расстояние от точки до прямой.
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
- •1. Пересечение прямой и плоскости.
- •Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности.
- •Условие параллельности прямой и плоскости.
Плоскость в пространстве.
Теорема. Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка вы пространстве есть плоскость. (т.е. плоскость задается уравнением 1-й степени с тремя переменными).
Доказательство.
Найдем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0(х0;у0;z0) перпендикулярно заданному вектору.
Вектор n=Ai+Bj+Ck- нормальный вектор плоскости (вектор нормали).
Множество всех точек пространства разбивается на три подмножества: точек, принадлежащих плоскости и точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.
Пусть М(х;у;z) – произвольная точка пространства. Какому из этих подмножеств принадлежит точка М зависит от знака скалярного произведения nM0M.
Если точка М принадлежит плоскости, то M0M=(x-x0;y-y0;z-z0)n. Следовательно, n·M0M=0. Т.е.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 причем А2+В2+С20, т.к. вектор n – ненулевой.
Преобразуем это уравнение:
Ax+Ву+Сz-Аx0-By0-Cz0=0 Обозначим D=-Аx0-By0-Cz0
Ax+Ву+Сz+D=0 (1) – общее уравнение плоскости.
Т.о. любой плоскости в пространстве соответствует уравнение первой степени относительно переменных х,у,z.
Докажем 2-е утверждение, т.е. что при любом выборе параметров А, В и С уравнению (2) соответствует некоторая плоскость в пространстве.
Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени с тремя переменными:
Ax+Ву+Сz+D=0 (А2+В2+С20)
Это уравнение имеет хотя бы одно решение х0;у0;z0, т.е. существует хотя бы одна точка М0(х0;у0;z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):
Ax0+Ву0+Сz0+D=0 (2)
Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим уравнение, эквивалентное (1):
A(х-x0)+В(у-у0)+С(z-z0)+D=0 (3)
Достаточно доказать, что уравнение (3) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Покажем, что уравнение (3), а значит и (1), определяет относительно системы Охуz плоскость , проходящую через точку М0(х0;у0;z0) и перпендикулярную вектору n={А;В;С} (т.к. А2+В2+С2≠0, то вектор n – ненулевой).
Если точка М(х,у,z) лежит на плоскости , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} ортогональны и их скалярное произведение n=0 (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С=0.
Если же М(х,у,z) не лежит на плоскости , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С не равно нулю. Ч.т.д.
Ax+Ву+Сz+D=0 (1) (1) – общее уравнение плоскости.
n={А;В;С} – нормальный вектор плоскости.
Замечание. Если два общих уравнения Ax+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что
A1=At, B1=Bt, C1=Ct, D1=Dt (4)
Действительно, т.к. плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 совпадают, то векторы n={А;В;C} и n1={А1;В1;C1} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n1=ntиз линейного свойства координат вектора следуют первые три равенства (4). Т.к. плоскости совпадают, то они имеют общую точку М0(х0;у0;z0). Т.е. Ах0+Ву0+Сz0+D=0 и А1х0+В1у0+С1z0+D1=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А1)х0+(Bt-В1)у0+(Ct-С1)z0+(Dt-D1)=0Dt-D1=0Dt=D1.
Т.о. общее уравнение плоскости, как и нормальный вектор плоскости, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.