Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Плоскость в пространстве.docx
Скачиваний:
57
Добавлен:
16.04.2015
Размер:
352.33 Кб
Скачать

Плоскость в пространстве.

Теорема. Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка вы пространстве есть плоскость. (т.е. плоскость задается уравнением 1-й степени с тремя переменными).

Доказательство.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М000;z0) перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n=Ai+Bj+Ck- нормальный вектор плоскости (вектор нормали).

Множество всех точек пространства разбивается на три подмножества: точек, принадлежащих плоскости и точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.

Пусть М(х;у;z) – произвольная точка пространства. Какому из этих подмножеств принадлежит точка М зависит от знака скалярного произведения nM0M.

Если точка М принадлежит плоскости, то M0M=(x-x0;y-y0;z-z0)n. Следовательно, n·M0M=0. Т.е.

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 причем А2220, т.к. вектор n – ненулевой.

Преобразуем это уравнение:

Ax+Ву+Сz-Аx0-By0-Cz0=0 Обозначим D=-Аx0-By0-Cz0

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) – общее уравнение плоскости.

Т.о. любой плоскости в пространстве соответствует уравнение первой степени относительно переменных х,у,z.

Докажем 2-е утверждение, т.е. что при любом выборе параметров А, В и С уравнению (2) соответствует некоторая плоскость в пространстве.

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени с тремя переменными:

Ax+Ву+Сz+D=0 (А2220)

Это уравнение имеет хотя бы одно решение х00;z0, т.е. существует хотя бы одна точка М000;z0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Ax0+Ву0+Сz0+D=0 (2)

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим уравнение, эквивалентное (1):

A(х-x0)+В(у-у0)+С(z-z0)+D=0 (3)

Достаточно доказать, что уравнение (3) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Покажем, что уравнение (3), а значит и (1), определяет относительно системы Охуz плоскость , проходящую через точку М000;z0) и перпендикулярную вектору n={А;В;С} (т.к. А222≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у,z) лежит на плоскости , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} ортогональны и их скалярное произведение n=0  (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С=0.

Если же М(х,у,z) не лежит на плоскости , то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n={А;В;С} и ={х-х0;y-y0;z-z0} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х0)А+(y-y0)В+(z-z0)С не равно нулю. Ч.т.д.

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) (1) – общее уравнение плоскости.

n={А;В;С} – нормальный вектор плоскости.

Замечание. Если два общих уравнения Ax+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что

A1=At, B1=Bt, C1=Ct, D1=Dt (4)

Действительно, т.к. плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и А1х+В1у+С1z+D1=0 совпадают, то векторы n={А;В;C} и n1={А11;C1} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n1=ntиз линейного свойства координат вектора следуют первые три равенства (4). Т.к. плоскости совпадают, то они имеют общую точку М000;z0). Т.е. Ах0+Ву0+Сz0+D=0 и А1х01у01z0+D1=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А10+(Bt-В10+(Ct-С1)z0+(Dt-D1)=0Dt-D1=0Dt=D1.

Т.о. общее уравнение плоскости, как и нормальный вектор плоскости, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.