Пучки и связки плоскостей.

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L, называется пучком плоскостей (с центром в L).

Теорема. (б.д.?)Если A₁x+В₁у+С₁z+D₁=0 и A₂x+В₂у+С₂z+D₂=0 уравнения двух различных непараллельных плоскостей, пересечением которых служит некоторая прямая L, а  и  - произвольные числа такие, что ²+²0, то

(A₁x+В₁у+С₁z+D₁)+(A₂x+В₂у+С₂z+D₂)=0 (15)

уравнение плоскости, проходящей через прямую L.

Какова бы ни была проходящая через прямую L плоскость, она определяется уравнением (15) при некоторых  и .

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку М₀(х₀;у₀;z₀), называется связкой плоскостей (с центром в М₀).

Уравнение связки с центром в точке М₀(х₀;у₀;z₀) имеет вид

А(х-х₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)=0 (16), где А²+В²+С²0

Прямая в пространстве.

1. Общие уравнения прямой в пространстве.

Т.к. линия в пространстве задается как линия пересечения 2-х поверхностей, то прямая в пространстве может быть задана как пересечение 2-х плоскостей:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1) – общее уравнение прямой

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

Прямая задается либо 2-мя точками, либо точкой и направлением.

2. Канонические уравнения прямой.

Найдем уравнение прямой L, проходящей через точку М₀(х₀;у₀;z₀) параллельно вектору q=(l;m;n) - направляющий вектор прямой.

Пусть М(х;у;z) – переменная точка прямой. Тогда вектор М₀М=(x-x₀)i+(y-y₀)j+(z-z₀)k || q=(l;m;n).

Учитывая условие параллельности векторов получаем:

(2) – каноническое уравнение прямой.

В канонических уравнениях (2) одно или два из чисел l,m и n могут быть равны нулю (все три не могут равняться нулю, т.к. вектор q={l,m,n} – ненулевой). Всякую пропорцию понимаем как равенствоad=cb. Тогда обращение в нуль одного из знаменателей в (2) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Так, например, если l=0, то m0 и из равенства l(y-y₀)=m(x-x₀) х-х₀=0, т.е. х=х₁ – уравнение прямой, параллельной оси Ох.)

Если прямая задана своими общими уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то направляющий вектор прямой q ортогонален каждому из нормальных векторов n₁={A₁;B₁;C₁}, n₂={A₂;B₂;C₂}. Так что можно положить вектор q={l,m,n} равный векторному произведению векторов n₁ и n₂:

q=n₁×n₂={; - ;}={B₁C₂-B₂C₁;A₂C₁-A₁C₂;A₁B₂-A₂B₁}

Чтобы из общих уравнений (1) получить канонические уравнения (2), необходимо кроме направляющего вектора q найти хотя бы одну точку М₀(х₀;у₀;z₀), через которую проходит прямая.

Пример.

3. Параметрические уравнения прямой.

Обозначим переменные для разного положения точки М, но равные друг другу отношения в уравнении (2) через t:

Преобразовав получаем параметрическое уравнение прямой:

tR(3)

Если принять параметр t за время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения (3) определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью v=(такое движение происходит по инерции).

4. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Даны две точки на прямой М₁(х₁;у₁;z₁) и М₂(х₂;у₂;z₂). Т.к. точка М₁L, то ее координаты удовлетворяют каноническому уравнению этой прямой, т.е.

В качестве направляющего можно выбрать вектор

М₁М₂=(x₂-x₁)i+(y₂-y₁)j+(z₂-z₁)k

Тогда получаем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки:

(4)

Пример. Перевод из одного вида уравнения в другой.

Прямая проходит через точки А(2;-1;0) и В(0;2;1)

- каноническое уравнение.

- параметрическое уравнение.

- общие уравнения.

Взаимное расположение прямых в пространстве.

Для двух прямых в пространстве возможны 4 случая:

• прямые совпадают;

• прямые параллельны (но не совпадают);

• прямые пересекаются;

• прямые скрещиваются (т.е. не имеют общих точек и непараллельны).

Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы своими каноническими уравнениями

L₁: и L₂:

с направляющими векторами: q₁=(l₁;m₁;n₁) и q₂=(l₂;m₂;n₂).

Угол между прямыми L₁ и L₂ может быть определен как угол между векторами s₁ и s₂, т.е. (L₁^{^}L₂)=(q₁^{^}q₂). Тогда

сosφ=, т.е. сosφ=(4)

Условие параллельности прямых в пространстве.

L₁||L₂ q₁||q₂ (5)

Условие перпендикулярности прямых в пространстве.

L₁L₂ q₁q₂ q₁·q₂=0 l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0 (6)

Выберем на прямых L₁ и L₂ точки М₁(х₁;у₁;z₁) и М₂(х₂;у₂;z₂) соответственно. Тогда канонические уравнения будут иметь вид:

L₁: и L₂:

Если прямые L₁ и L₂ совпадают, то их направляющим векторам коллинеарен и вектор М₁М₂, т.е. (7)

Это двойное равенство означает, что точка М₂L₁. Следовательно, условием совпадения прямых является выполнения одновременно равенств (5) и (7).

Если прямые L₁ и L₂ пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлениарны, т.е. условие (5) нарушается.