2.4. Агрегативное описание систем Понятие «агрегат» в теории систем

Пусть T– фиксированное подмножество действительных чисел (множество рассматриваемых моментов времени),Z, U, Y, X– множества любой природы. Элементы указанных множеств назовем, как и ранее:tT– моментом времени;uU; входным сигналом;zZ -управляющим сигналом;yY– выходным сигналом;xXсостоянием. Разница между входным сигналом и управляющим состоит в следующем – управляющий сигнал влияет на выходной непосредственно, а входной сигнал – опосредованно через состояние. Состояния, входные, управляющие и выходные сигналы, рассматриваемые как функции времени, обозначимx(t), u(t), z(t) и y(t).

Под агрегатомбудем понимать объект<T,U,Z,Y,X,H,G>, гдеH,G– операторы (вообще говоря, случайные). Операторы переходов и выходовHиGреализуют функцииx(t)иy(t)и представляют собой обобщение переходного отображенияи функции наблюдения. Структура этих операторов собственно и выделяет агрегаты среди прочих систем.

Предположение 1. Будем предполагать, что за конечный интервал времени в агрегат поступает конечное число входных и управляющих сигналов и вырабатывается конечное число выходных сигналов.

Операторы переходов и выходов агрегата

Операторы переходов.Наряду с состояниемx(t)будем рассматривать также точкиx(t+0).Договоримся считать, что для любогоt₁>tмомент(t+0)(t,t₁].Аналогично:x(t-0)означает, что t₀<t: (t-0)[t₀,t). Вид оператораHзависит от того, содержит ли рассматриваемый интервал времени моменты т.н.особых состоянийагрегата или не содержит.

Под особыми состояниямибудем понимать его состояния в момент получения входного либо управляющего сигналов или выдачи выходного сигнала. Все остальные состояния агрегата будем называть неособыми.

Предположение 2.Из особых состояний агрегат может переходить в новое состояние скачком.

Пусть x(t*)– некоторое особое состояние агрегата, аz_s– последний управляющий сигналz_sZ. Примем следующие обозначения для операторов, являющихся частными видами оператораHи определяющих состояние агрегата в моментt*+0. Еслиt*- момент поступления входного сигнала u, то

x(t*+0)=V[x(t*), u, z_s]. (2.3)

Аналогично, если t*- момент поступления управляющего сигнала z, то

x(t*+0)=V[x(t*), z]. (2.4)

При одновременном поступлении uиz

x(t*+0)=V [x(t*), u, z](2.5)

Наконец, если t*- момент выдачи выходного сигнала y, то

x(t*+0)=W[x(t*), z_s]. (2.6)

В интервале между особыми состояниями, значение x(t)определяется при по­мощи операторовQ, вид которых в общем случае зависит от особого сос­тояния, являющегося для данного интервала времени начальным состоянием:

x(t*+0)=[t,x(t*), z_s].(2.7)

Здесь t*- момент особого состояния, являющегося исходным для данного интервала времени. То естьHявляется общим обозначением операторовQ,V,V,V и W.

Оператор выходов. Во множествеXсостоянийx(t) агрегата выделим класс подмножеств {X_y} (подмножества состояний, влекущих за собой необходимость выдачи выходного сигнала), обладающих следующими свойствами. Выходной сигналyвыдается в моментtв двух случаях, когда:

1. x(t)X_y; x(t-0)X_y

2. x(t+0)X_y, но x(t’)X_y.

Тогда, оператор Gможно представить в виде совокупности двух операторов: функционального оператораG, вырабатывающего выходной сигнал

y(t)=G[x(t),z_s] (2.8)

и логического оператора G, проверяющего для каждогоtпринадлежностьx(t)к од­ному из подмножествX_y. Заметим, что в общем случае, операторGявляется слу­чайным оператором. Это значит, что даннымt, x(t), zставится в соответствие не одно определенное значение выходного сигнала, а некоторое множество значе­нийyс распределением вероятностей, задаваемых операторомG.

Например, в качестве одной составляющих вектора x(t)(напримерx₁(t)) может быть время, оставшееся до выдачи выходного сигнала. Тогда операторGпроверяет неравенствоx₁(t)>0.

Процесс функционирования агрегата. Агрегат функционирует следую­щим образом. В начальный момент времениt₀заданы начальное состояние агрегатаx₀и начальное значение управляющего сигналаz₀.

П

y’u₁z₁u₂

t’t₁₁t₂

Рис.2.4. Пример наступления событий в агрегате

устьt₁иt₂– моменты поступления первогоu₁и второгоu₂входных сигна­лов,₁– момент поступления первого управляющего сигналаz₁ и, для опре­де­лен­ностиt₁<₁<t₂,t'– момент выдачи первого выходного сигнала, причем пустьt<t₁(см. рис. 2.4).

Рассмотрим полуинтервал (t₀,t₁].Состояния агрегата изменяются с течением времени по закону (2.7):

x(t)=[t,x₀,z₀](t₀<tt)

до тех пор (оператор G), пока в моментtсостояниеx(t)не окажется принадлежащим подмножествуX_y, хотя состояниеx(t-0)не принадлежало подмножествуX_y. В этом случае в моментtвыдается выходной сигналy₁, вырабатываемый операторомG. Вместе с тем закон изменения состояний (2.7) нарушается и переключается на закон (2.6):

x(t+0)=W[x(t),z₀].

Пусть теперь в момент t₁поступает входной сигналu_1. Проследим поведение агрегата в моментt₁(см. закон (2.3)). Тогда в силу действия входного сигналаu₁ состояние агрегата имеет вид

x(t₁+0)=V[x(t₁),u₁,z₀],(2.9)

а в дальнейшем, если состояние (2.9) не соответствует выдаче выходного сигнала, то:

x(t)=[t,V[x(t₁),u₁,z₀],z₀] t₁<t₁

Пусть в момент ₁ в агрегат поступает управляющий сигналz₁. Тогда состояние агрегата имеет вид (см. закон (2.4)).

x(₁+0)=V[x(₁),z₁],

Необходимо отметить, что управляющий сигнал zв общем случае является параметром, определяющим операторыV, V, W, Q, G, G.Поэтому в дальнейшем вместо начального значения управляющего сигналаz₀в этих операторах должно использоваться значениеz₁ до тех пор, пока не поступит следующий управляющий сигналz_2.Например, в полуинтервале(₁, t₂],если нет оснований для выдачи выходного сигнала

x(t)=[t, x(₁+0), z₁]₁<tt₂

В частном случае, операторы HиGмогут оставаться неизменными при поступлении очередного управляющего сигнала. Аналогично, операторQможет быть одним и тем же при любых выходных сигналах (при попаданииx(t)в любые подмножестваX_y).

Агрегат представляет собой математическую схему весьма общего вида, частными случаями которой являются функции алгебры логики, релейно-контактные схемы, конечные автоматы, всевозможные классы систем массового обслуживания, динамические системы, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями и некоторые другие объекты. С точки зрения моделирования агрегат выступает как достаточно универсальный переработчик информации – он воспринимает входные и управляющие сигналы и выдает выходные сигналы.