1.6. Двойственный симплекс-метод

В экономических приложениях часто встречаются задачи, отличающиеся свободными членами и (или) коэффициентами целевой функции. В таких случаях бывает удобно использовать базис, соответствующий оптимальному плану одной из задач, в качестве начального базиса для другой задачи. В частности, двойственные оценки для второй задачи могут оставаться неотрицательными, в то время как соответствующий базисный план может быть уже недопустимым.

В качестве примера рассмотрим следующую ЗЛП:

Приведем ее к каноническому виду, введя дополнительные переменные х₃, х₄, х₅  0.

Для того чтобы получить единичный базис, умножим второе и третье структурное ограничение на (-1). Тогда ЗЛП преобразуется к виду:

Векторы А₃, А₄, А₅ образуют единичный базис этой ЗЛП. Ее частным решением будет вектор х⁰ = (0; 0; 21; -3; -2). Этот вектор не является БДП, поскольку две координаты отрицательные, однако при этом все двойственные оценки неотрицательны, т.е. с другой стороны выполнен признак оптимальности плана. Для решения таких задач применяется алгоритм двойственного симплекс-метода.

Таким образом, двойственный симплекс-метод используется в ситуациях, когда в ЗЛП существует базисное решение (план), которому соответствуют неотрицательные двойственные оценки.

Определение 16. Решение системы линейных уравнений (1.63) , соответствующее базису А_ , называется псевдопланом или почти допустимым базисным решением (ПДБР), если все двойственные оценки неотрицательны (_j  , ), а среди координат плана существует, по крайней мере, одна отрицательная координата (x_k⁰ < 0, k).

Здесь . Итак, двойственный симплекс-метод применяется тогда, когда в ЗЛП имеется псевдоплан.

В рассмотренной выше ЗЛП вектор х⁰ = (0; 0; 21; -3; -2) представляет собой псевдоплан. Чаще всего псевдоплан появляется в задачах, в которых

1. Ограничения имеют вид Ах  b.

2. Коэффициенты целевой функции с_j  0, и при этом C(х)  min.

3. В ЗЛП вводится существенное или активное ограничение, т.е. такое ограничение, которое изменяет оптимальный план в первоначально заданном множестве допустимых планов.

Теорема 1.9. Признак оптимальности псевдоплана.

Пусть х^* = (х^*₁ ,…, х^*_n) – псевдоплан, в котором , тогда х^* – оптимальный план.

Доказательство. Так как х^* псевдоплан, то ему соответствует некоторый базис. Поскольку по условию теоремы , то х^* – БДП. Из определения псевдоплана следует, что . При этом попадаем в условия теоремы «Признак оптимальности БДП» (п. 1.4.2). Таким образом, х^* – оптимальный план.

1.6.1. Алгоритм двойственного симплекс-метода

Рассмотрим ЗЛП:

(1.67)

Пусть в данной задаче (1.67) имеется псевдоплан х⁰. Наличие псевдоплана предполагает, что на текущей итерации мы имеем систему ограничений вида

(1.68)

В (1.68) все координаты x_k0 не определены по знаку, т.е. могут быть как положительными, так и отрицательными. При этом в ЗЛП (1.67) все оценки .

Переход к новому псевдоплану осуществляется по двум правилам.

Правило 1. Определение номера вектора, выводимого из базиса.

Из базиса выводится вектор А_r, у которого номер r определяется из соотношения:

.

Вообще говоря, если отрицательных компонент несколько, то можно выбрать любую и выводить соответствующий вектор, но это может увеличить число итераций.

Правило 2. Определение номера вектора, вводимого в базис.

Номер вектора s, вводимого в базис, выбирается из отношений двойственных оценок к отрицательным элементам r-ой строки симплекс-таблицы, а именно из условия:

.

В этом случае ведущим элементом будет , а все элементы симплексной таблицы пересчитываются по формулам, идентичным формулам в симплекс-методе. Воспользовавшись фрагментом симплекс-таблицы (табл. 1.8), запишем формулы пересчета ее элементов.

Таблица 1.8.