- •Глава 2 Модели и методы описания систем
- •2.1. Методы описания систем
- •Качественные методы описания систем
- •Количественные методы описания систем
- •2.1. Теоретико-множественный подход к описанию систем
- •2.3. Кибернетический подход к описанию систем
- •2.4. Агрегативное описание систем Понятие «агрегат» в теории систем
- •Операторы переходов и выходов агрегата
- •Кусочно-линейные агрегаты
- •2.5. Марковские цепи
- •Дискретные марковские цепи
- •Эргодические и поглощающие марковские цепи
- •Непрерывные марковские цепи
- •Вопросы и задачи к главе 2
2.1. Теоретико-множественный подход к описанию систем
Для получения математической модели процесса функционирования системы, чтобы она охватывала широкий класс реальных объектов, в общей теории систем исходят из общих предположений о характере функционирования системы:
система функционирует во времени; в каждый момент времени система может находиться в одном из возможных состояний;
на вход системы могут поступать входные сигналы;
система способна выдавать выходные сигналы;
состояние системы в данный момент времени определяется предыдущими состояниями и входными сигналами, поступившими в данный момент времени и ранее;
выходной сигнал в данный момент времени определяется состояниями системы, относящимися к данному и предшествующим моментам времени.
Первое предположение отражает динамический характер процесса функционирования в пространстве и времени. При этом процесс функционирования протекает как последовательная смена состояний системы под действием внешних и внутренних причин. 2-е и 3-е – отражают взаимодействие системы с внешней средой. В 4-м и 5-м предложениях отражается реакция системы на внутренние факторы и воздействия внешней среды: последействие и принцип физической реализуемости.
Последействие– это тенденции, определяющие поведение системы в будущем, зависят не только от того, в каком состоянии находится система в настоящий момент времени, но и в той или иной степени от ее поведения в предыдущие моменты времени.
Принцип физической реализуемости: система не реагирует в данный момент времени на «будущие» факторы и воздействия внешней среды.
Для описания систем ее подсистемы (или элементы) перечисляются с помощью некоторых множеств Viи устанавливается характер связей между ними.
S {Vi, iI}, где
Vi – i-тая компонента декартова произведения Vi, называемая объектом системыS,I-множество индексов. Или иначе:
S V1V2V3...Vm
Абстрактно-алгебраическиемодели описывают связи как семейство отношений (унарных, бинарных ...n-арных)
R = {R1,R2,...,Rn}
Под отношением, введенным на множестве А,понимается подмножество декартового произведения конечной степениAn=AA....A данного множестваA, т.е. подмножество кортежей(a1, a2,… an)изnэлементов множестваA.
Подмножество RAnназываетсяn-местным илиn-арным отношением в множествеA. Числоnназывается рангом или типом отношенияR. Множество всехn-арных отношений в множествеAотносительно операцийиявляется булевой алгеброй.
Примеры отношений на множестве V «Люди»:
унарное отношение «мужчины»: R={vV | пол(v)=мужской}
бинарное отношение «старше»: R={(v1,v2)V2 | возраст(v1)>возраст(v2)}
трехместное отношение «являются родителями»: {тройка, где 1-й элемент – отец, второй – мать, третий – ребенок}
Функциональныемодели определят связи как множество отображений.
Если множество индексов Iконечно, то разобьем его два подмножестваIuиIy. В общем случае пересечение этих подмножеств может быть не пусто.IuIиIy.I. МножествоU={Vi | iIu}назовемпричинами, а множествоY={Vi | iIy}назовемследствиями. Тогда системаS UY. СистемаSназывается функциональной, если она представляется в виде отображенияS: UY.
Временныемодели в качестве одного из объектов системыSвводят множество моментов времениТ.
Если элементы одного из объектов системы есть функции, например : TV, то этот объект называютфункциональным. В случае, когда области определения всех функций для данного объектаVодинаковы, т.е. каждая функция отображаетTвV,: TV, тоTназываетсяиндексирующим множествомдля. Если индексирующее множество линейно-упорядочено, то его называютмножеством моментов времени. Функции, определенные на множестве моментов времени, принято называть функциями времени. Объект, элементами которого являются временные функции, называютвременным объектом, а системы определенные на временных объектах –временными системами.