2. Минимальные покрытия.

«Это долг – ради спасения истины отказаться даже от дорогого и близкого.»

АРИСТОТЕЛЬ 384-322гг. до н.э.

Множество F–зависимостей минимально, если оно содержит не большеF–зависимостей, чем любое эквивалентное ему множествоF–зависимостей.

Минимальное множество F–зависимостей не может содержать избыточных зависимостей. (Почему?) Таким образом, оно одновременно и неизбыточно.

Прямая определяемость.

В настоящее время задача определения минимальных покрытий (в отличие от неизбыточных покрытий) не имеет общего решения. Даже проверка минимальности построенного покрытия с помощью вычислительных алгоритмов невозможна (т.к. случай непосредственного перебора вариантов покрытий требует чрезмерных вычислительных затрат). Поэтому придется ограничиться частным случаем функциональной определяемости.

Для заданного множества F–зависимостейподмножествоX прямо определяетY относительно, если дляXYсуществует неизбыточное покрытие Ф множества,обладающее DDA-графом Н над Ф, таким, чтоU(Н)Е_Ф(X)= (обозначение X=>Y).

Иначе говоря, можно найти для  неизбыточное покрытие Ф, в котором XY выводимо только из F–зависимостей принадлежащих множеству Ф-Е_Ф(X). Заметим, что всегда имеет место X=>X, чтоX=>Y влечет XY и что может быть Е_Ф(X) пустым. Кроме этого A=>B имеет иесто при А=В.

Непосредственно использовать введеное понятие затруднительно. Может оказаться, что для проверки того, что Х прямо определяет Y, потребуется нахождение всех неизбыточных покрытий. Однако вычисление минимального покрытия с данными ограничениями возможно.

Оптимальные покрытия.

До сих пор покрытия оценивались количеством содержавшихся в них F–зависимостей. Однако мы можем оценить их количеством вхождения в них атрибутов. Тогда множество Ф мы будем считать оптимальным, если не существует другого множества с меньшим числом атрибутных символов. Интересно, что если Ф – оптимальное множество, то оно будет редуцировано и минимально.

Вероятно, что задача нахождения оптимального покрытия принадлежит классу NP-полных задач. Как правило, на практике для решения поставленных задач используются разнообразные эвристические соображения, что предполагает невероятно широкий спектр алгоритмов.

2. Кольцевые покрытия и составные зависимости.

«Шутить надо для того, чтобы совершать серьёзные дела».

АРИСТОТЕЛЬ 384-322гг. до н.э.

Как было показано ранее, множество F–зависимостей Ф можно разбить на подмножества с эквивалентными левыми частями. Всю информацию о построенном классе эквивалентных зависимостей можно представить одной обобщеннойF–зависимостью.

Составная функциональная зависимость(СF-зависимость) имеет вид (X₁, X₂, ..., X_k)Y, гдеX₁, X₂, ..., X_kиY –различные подмножества схемы R. Экземпляр отношенияr(R) удовлетворяетCF-зависимости , если он удовлетворяет множествуF–зависимостейXiX_j и X_iY, 1  i, j  k. В этой записи (X₁, X₂, ..., X_k) называется левой частью,X₁, X₂, ..., X_k- левыми подмножествами иY – правой частью.

СF-зависимость не более чем сокращенный способ записи множества F-зависимостей с эквивалентными левыми частями. При этом допускаетсяY=, а СF-зависимость записывается как(X₁, X₂, ..., X_k).

Пусть  – множество CF-зависимостей надR и Ф – множество F- иCF-зависимостей надR. Тогда эквивалентно Ф, Ф, если каждое r(R), удовлетворяющее , удовлетворяет Ф и обратно.

Множество Ф называется покрытием, если Ф, где Ф и  состоят либо из множества F–зависимостей и множеств CF-зависимостей, либо из множеств одного из этих видов.

Множество F–зависимостей Ф называется характеристическим множествомCF-зависимости (X₁, X₂, ..., X_k)Y, если Ф{(X₁, X₂, ..., X_k)Y}. Если каждое левое множество из CF-зависимости используется в качестве левой частиF-зависимости в точности один раз (т.е. Ф имеет вид{X₁Y₁, X₂Y₂, ..., X_kY_k}), то Ф называется естественным характеристическим множеством для CF-зависмости. По данному определению,CF-зависимость обладает одним характеристическим множеством для (X₁, X₂, ..., X_k)Y, но это множество не является естественным. Другое характеристическое множество – это {X₁X₂, X₂X₃, ... , X_k X₁Y }является естественным, а его структуре подмножеств обязан своим происхождением терминкольцевое подмножество. Левую часть такойCF-зависимости можно представить в виде кольца. МножествоCF-зависимостей можно рассматривать как объединение характеристических множеств всехCF-зависимостей. В такой трактовке на них переносится почти вся терминология (с легкими изменениями), введеная для F–зависимостей.