2. Применение аксиом вывода.

«Мудрость – самая точная из наук.»

АРИСТОТЕЛЬ, 384-322гг. до н.э.

Используя аксиомы А1-А6 можно получить их композиции, т.е. другие правила вывода для F-зависимостей. Рассмотрим первый пример. Пусть r(R) отношение со схемой R, а XR и YR. Аксиома А1 утверждает, что r(R) удовлетворяет YY. Применяя аксиому А2, получим, что r(R) удовлетворяет XYY. Чтобы опровергнуть какое-либо утверждение относительно F–зависимостей достаточно указать хотя бы одно отношение, которое не удовлетворяет этому отношению.

Некоторые аксиомы могут быть получены из других аксиом. Например аксиома А5 (транзитивность) есть частный случай аксиомы А6(псевдотранзитивности) при Z=. В свою очередь А6 следует из аксиом А1, А2, А3 и А5. Можно показать, что система данных аксиом – полная. Это означает, что каждая F–зависимость, следующая из множества зависимостей Ф, может быть выведена путем многократного применения к Ф аксиом.

Если даны аксиомы А1, А2, А6, то из них можно вывести все остальные аксиомы. Таким образом данные аксиомы есть полное подмножество шести исходных. Аксиомы А1, А2, А6 являются независимыми, т.к. ни одна из них не может быть выведена из оставшейся пары. Очевидна особая роль данного множества аксиом, которое принято называеть аксиомами Амстронга, хотя им они были получены как аксиомы в иной форме.

Позитивное замыкание множества F-зависимостей.

Пусть Ф – множество F–зависимостей для отношений со схемой R. Замыкание Ф, обозначаемое как Ф⁺, есть наименьшее содержащие Ф множество, такое, что при применении к нему аксиом Амстронга нельзя получить ни одной F–зависимости, не принадлежащей Ф.

Так как Ф⁺ - конечно, то можно можно его вычислить, применяя аксиомы А1, А2, А6 и добавляя новые полученные зависимости. Позитивное замыкание Ф⁺ очевидно зависит от схемы R. Когда R не определено явно, предполагается существование существование множества символов атрибутов, используемых в функциональных зависимостях (АА).

Следовательно, из множества Ф можно вывести F-зависимость XY, только если она принадлежит Ф⁺. Можно доказать и обратное утверждение.

Определение внешности множества F-зависимостей.

Если Ф является подмножеством F–зависимостей над R и G является множеством всех возможных F-зависимостей над R, то Ф^- = G - Ф⁺ называется внешностью множества Ф.

Определение тривиальной F-зависимости.

F-зависимость XY называется тривиальной, если XY.

Если XY является тривиальной над R, то любой экземпляр отношения r(R) укдовлетворяет XY.

Теорема полноты системы аксиом вывода.

Система аксиом А1-А6 является полной.

Следствие теоремы. Для любого множества F–зависимостей Ф над схемой R существует отношение r(R), удовлетворяющее Ф⁺ и нарушающее каждую F–зависимость в Ф^- (такое называется экземпляром отношения Амстронга). Из этого очевидно вытекает непротиворечивость и полнота системы аксиом А1, А2, А6.

Пример А-вывода функциональной зависимости.

Пусть Ф = {ABE, AGJ, BEI, EG, GIH}. Доказать выводимость ABGH.

1	ABE (дано)	6	ABI (A5 из 4 и 5)	11	ABH (А5 из 9 и 10)
2	ABAB (А1)	7	EG (дано)	12	GIGI (А1)
3	ABB (А4 из 2)	8	ABG (А5 из 1 и 7)	13	GII (А4 из 12)
4	ABBE (А3 из 1 и 3)	9	ABGI (А3 из 6 и 8)	14	ABGH (A3 из 8 и 11)
5	BEI (дано)	10	GIH (дано)

2. RAP - последовательность вывода.

«Познание начинается с удивления.» АРИСТОТЕЛЬ, 384-322гг. до н.э.

Если ФXY, то либоXY содержится в Ф, либоXY выводимо из Ф. Последовательность применения аксиом для получения в результатеF–зависимости называют выводомXY из Ф. Последовательность РF–зависимостей надRназывают последовательностью вывода на Ф, если каждаяF–зависимость

• либо является членом Ф,

• либо следует из предидущих F–зависимостей после применения аксиом вывода.

Определение используемого множества.

Используемое множествов последовательности вывода Р на Ф есть множество всех F–зависимостей из Ф, принадлежащих Р.

Система В-аксиом.

Можно использовать не аксиомы А1-А6, а систему В-аксиом, которые пределяются следующим образом.

В1. Рефлексивность: XX.

В2. Накопление: XYZ и ZCW влечетXYCW

В3. Проективность:XYZ влечетXY.

Аксиомы Амстронга выводятся из В-аксиом.

Пример В-вывода функциональной зависимости.

Пусть Ф = {ABE, AGJ, BEI, EG, GIH}. Доказать выводимость ABGH.

1	EIIE (B1)	6	EIGHI (B2 из 4 и 5)	11	BEI (дано)
2	EG (дано)	7	EIGH (B3 из 6)	12	ABABEI (B2 из 10 и 11)
3	EIEGI (B2 из 1 и 2)	8	ABBA (B1)	13	ABABEGI (B2 из 4 и 12)
4	EIGI (B3 из 3)	9	ABE (дано)	14	ABABEGHI (B2 из 7 и 13)
5	GIH (дано)	10	ABABE (B2 из 8 и 9)	15	ABGH (B3 из 14)

RAP- последовательности вывода.

Рассмотрим последовательности вывода для XY из множества F–зависимостей Ф при помощи В-аксиом, которые удовлетворяют следующим условиям.

1. Первая F–зависимость – это XX.

2. Последняя F–зависимость – этоXY.

3. Каждая промежуточная F–зависимостьлибо принадлежит Ф, либо имеет видXZ и получена с помощью аксиомыB2.

Такая последовательность вывода называется RAP-последовательностью вывода (от названия В-аксиом: Reflexivity, Accumulation,Projectivity). Если существует последовательность вывода из Ф дляXY, то существует и RAP-последовательность вывода из Ф дляXY.