2. Покрытия и эквивалентность.

«Ясность – главное достоинство речи.» АРИСТОТЕЛЬ 384-322гг. до н.э.

В системах реляционных баз данных F-зависимости способствуют обеспечению согласованности и целостности базы данных. Меньшее числоF–зависимостей означает меньший объем используемой памяти и меньшее количество операций проверок при модификации баз данных. Таким образом, меньшее количествоF-зависимостей гарантируют более производительную работу БД.

Два множества F–зависимостей Ф и над схемой R эквивалентны, т.е. Ф, еслиФ⁺⁺. ЕслиФ, то Ф есть покрытие для .

В определении нет упоминания оразмерах множеств Ф и , однако мы полагаем далее, что Ф не превосходит по мощности . Если Ф, то, поскольку Ф⁺⁺, для каждой зависимости XY из  следует ФXY. Справедливо и симметричное утверждение. Обобщая понятие выводимости множеств, мы получим ФиФ, что влечет зва собой Ф⁺⁺и⁺Ф⁺.

Определение неизбыточных покрытий.

Множество F–зависимостей Ф неизбыточно, если унего нет такого собственного подмножестваФ’, чтоФФ’. Если такое множество Ф’ существует, то исходное множество – избыточно.

Равносильное утверждение. Множество Ф неизбыточно, если в нем не существует F–зависимости XY, такой, что Ф-{XY} XY. Это смвойство можноиспользоват для построения алгоритма проверки избыточности Ф.

Посторонние атрибуты.

Если Ф – неизбыточное множество F–зависимостей, то в нем нет “лишних” зависимостей. Однако размер Ф можно уменьшить, удалив некоторые атрибуты из F–зависимостей из Ф.

Пусть Ф – множество F–зависимостей над R и XYФ. Атрибут А изR называется посторонним в XY, если

1. X=AZ, XZ и (Ф-{XY})  {ZY}  Ф или

2. Y=AW, YW и (Ф-{XY})  {XW}  Ф.

Иными словами, А – посторонний атрибут в XY, если его можно удалить из правой или левой части XY без изменения замыкания Ф. Зависимость XY называется редуцированной слева, если Xне содержит постороннего атрибута А. Аналогично, она называется редуцированной справа, если Y не содержит постороннего атрибута А. Зависимость XY называется редуцированной, если она редуцирована слева и справа и Y.

Если все F-зависимости в Ф редуцированы (слева и\или справа), то множество Ф называется редуцированным (слева и\или справа).

Канонические покрытия.

Множество F-зависимостей называетсяканоническим, если каждаяF–зависимость из Ф имеет вид XA, редуцирована слева и неизбыточна.

Пусть Ф – редуцированное покрытие. Образуем из него каноническое покрытие , расщепляя каждую F–зависимость XA₁A₂...A_m на множество зависимостей XA₁,XA₂,..., XA_m. Покрытие  является каноническим. Обратно, если  - каноническое покрытие, то оно редуцировано. Отметим, что Ф и  эквивалентны.

Структура неизбыточных покрытий.

Что можно сказать о двух неизбыточных покрытиях Ф и Ф’ для множества F–зависимостей  помимо того, что ФФ’? Оказывается, что в некотором смысле их структуры схожи, что следует из следующего рассуждения.

Два множества атрибутов X и Y эквивалентны относительно множества F–зависимостей Ф, если ФXYи ФYX(обозначаетсяXY).

Пусть Ф и  - эквивалентные неизбыточные множества –зависимостей над схемой R. Допустим, что -XYF-зависимость из Ф, тогда всуществуетF-зависимостьVW и XV относительно Ф (и относительно). Иначе говоря, для заданных эквивалентных неизбыточных покрытий Ф ии каждой левой частиX в F–зависмости из Ф существует эквивалентная левая часть вF-зависимости из.

Пусть Ф – множество F–зависимостей над схемойR и X – множество атрибутов XR. Пусть Е_Ф(X) – множествоF–зависимостейиз Ф с левой частью, эквивалентной X. Введем множество

Е_Ф(X) = { Е_Ф(X)|XR иЕ_Ф(X) }.

Если в Ф не существует F–зависимости с левой частью X, то Е_Ф(X).МножествоЕ_Ф(X) всегда является разбиением Ф. Очевидно, что если заданы эквивалентные неизбыточные множества Ф и, тоЕ_Ф(X)не пусто тогда и только тогда, когда не пустоЕ_(X), а мощности|Е_Ф|и|Е_|совпадают.

Неизбыточное покрытие Ф множестваF–зависимостей не объязательно содержит столько жеF–зависимостей, сколько имеет любое другое неизбыточное покрытие.Для нас представляет интерес найти минимальное неизбыточное покрытие.