formal_language_theory / lectures / unit_11

Пример не сильной LL(2)-грамматики

Но поскольку, очевидно, что

то, учитывая существование выводов

S aAaa и S bAba,

заключаем, что

Проверка условия сильной LL(2)-грам- матики показывает, что

51

Пример не сильной LL(2)-грамматики

для S:

{aa, ab} {bb} = ,

= {ba, bb} {aa, ba} = {ba} .

Таким образом, грамматика G — LL(2), но не сильная LL(2)-грамматика.

Ret 120

52

Теорема 2.3. Если G = (VN, VT, P, S) — cfg,

и G — леворекурсивна, то G — не LL(k)- грамматика ни при каком k.

Доказательство будем проводить в предположении приведённости грамматики G, поскольку, как отмечалось ранее, бесполезные нетерминалы не влияют на выполнение LL(k)-критерия.

Ret 165 Ret 167

53

Леворекурсивная грамматика — не LL(k) при любом k

( ), ибо в противном случае ничего,

нетерминала A было бы невозможно, что противоречило бы приведённости G.

54

Леворекурсивная грамматика — не LL(k) при любом k

использованы правила

A A1 1, A1 A2 2,…, Am – 1 Am m,

где Am = A.

55

Леворекурсивная грамматика — не LL(k) при любом k

Хотя бы одно из этих правил должно иметь альтернативу, не начинающуюся ни на один из нетерминалов A1, A2, … , Am (иначе грамматика G была бы неприведённой).

Пусть, например, существует

Aj Aj+ 1 j+ 1 | , где Aj+ 1 j+ 1.

56

Леворекурсивная грамматика — не LL(k) при любом k

Так как грамматика G — приведённая, существует сентенциальная форма, в частности, левостороннего вывода, в которой участвует нетерминал A, например

двумя способами:

57

Леворекурсивная грамматика — не LL(k) при любом k

y

предполагая, что ввиду приведённости

58

Леворекурсивная грамматика — не LL(k) при любом k

Эти два вывода можно сопоставить с теми, которые фигурируют в определении 2.3 LL(k)-грамматик, учитывая, что

x = zxj…x1ri+ 1t, а y = zxj…x1rit.

Если r , то каким бы большим ни было k, всегда путем выбора i можно добиться,

чтобы

FIRSTGk (x) FIRSTGk ( y

при том, что в точке, где эти два вывода разошлись, были применены различные альтернативы для раскрытия нетерминала Aj:

Aj Aj+ 1 j+ 1 | , Aj+ 1 j+ 1.

59

Леворекурсивная грамматика — не LL(k) при любом k

Если r = , то имеем два разных левосторонних вывода одной и той же терминальной цепочки wzxj … x1t. То и другое означает, что грамматика G — не LL(k) ни при каком k.

Следствие 2.3. Итак, мы имеем два достаточных признака для того, чтобы считать КС-грамматику не LL-грамматикой.

Это — неоднозначность и леворекурсивность.

60