formal_language_theory / lectures / unit_11

Тестирование LL(k)-грамматик

Для описания алгоритма, разрешающего этот вопрос, введем вспомогательную функцию .

Определение 2.12. Пусть G = (VN, VT, P, S) —

cfg и A VN.

Определим

Одно L — множество локальных правых контекстов в одном выводе, в котором встречается A. А таких выводов может быть несколько и каждый даёт своё L. Так что σ(A)

есть множество множеств терминальных цепочек не

Тестирование LL(k)-грамматик

Алгоритм 2.4: тестирование LL(k)-грамматик.

Вход: G = (VN, VT, P, S) — контекстносвободная грамматика.

Выход: “да”, если G — LL(k)-грамматика;

“нет” — в противном случае.

Метод.

1. Для каждого нетерминала A, для которого существуют две или более альтернативы, вычисляется (A).

172

Тестирование LL(k)-грамматик

2. Пусть A и A P ( ) — два различных A-правила.

Для каждого L (A) вычисляется

Если f (L) , то алгоритм завершается с результатом “нет”.

Если f (L) = для всех L (A), то шаг 2 повторяется для всех остальных пар A- правил.

173

Тестирование LL(k)-грамматик

3.Повторять шаги 1 и 2 для всех нетерминалов из множества VN.

4.Завершить алгоритм с результатом “да”.

Этот шаг выполняется, если были рассмотрены все нетерминалы и алгоритм не завершился на шаге 2.

Поскольку здесь используется функция

174

Вход: G = (VN, VT, P, S) — cfg и

= X1X2 … Xn, Xi V (i =1, 2,…, n; n 0).

Метод. Согласно лемме 2.1

FIRSTkG ( ) FIRSTkG ( X1 ) k ... k FIRSTkG ( X n ),

175

Остается найти способ вычисления

Мы будем использовать метод последовательных приближений и строить последовательности множеств Fi(X) для всех X VN VT, i = 0, 1, 2, ... .

176

F0(A), F1(A), …, Fi – 1(A)

уже построены для всех A VN.

x Fi – 1(Y1) k Fi – 1(Y2) k … k Fi – 1(Ym)}.

177

A VN и i > 0, то шаг 3 требуется повторять

до тех пор, пока при некотором i = j не

окажется Fj(A) = Fj+ 1(A) для всех A VN. Очевидно, что тогда

Fj(A) = Fj+ 1(A) = Fj+ 2(A) = … .

5. Остается только положить

178

Пример 2.10. Рассмотрим ещё раз LL(1)- грамматику из примера 2.6:

G = ({E, E’, T, T’, F}, {a, +, *, (, )}, P, E), где

179

Прежде всего согласно шагу 2 алгоритма 2.5 получаем

F0(E) = F0(T) = , F0(E’) = {+, }, F0(T’) = {*, }, F0(F) = {(, a}.

Далее шаг 3 даёт

F1(E) = F0(T) 1 F0(E’) F0(E) =

= 1{+, } = = F0(E); F1(E’)=F0(+) 1F0(T) 1F0(E’) F0(E’)=

={+} 1 1{+, } { } {+, } =

={ } {+, } = {+, } = F0(E’);

180