ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 10

Лекция 10. Постановка задачи стабилизации движения. Система в отклонениях.

Стабилизация линейных стационарных систем. Примеры.

Понятие стабилизации управляемого движения тесно связано с аппаратом теории устойчивости. В дальнейшем изложении лекционного материала существенно будут использоваться такие понятия как устойчивость по Ляпунову решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, асимптотическая устойчивость решения. Для исследования устойчивости будет использоваться аппарат второго метода Ляпунова, а точнее метод функций Ляпунова. Краткая информация по базовым понятием из теории устойчивости будет вынесена в качестве приложения в конце лекции.

Рассмотрим управляемую систему (в общем случае нелинейную)

Пусть для системы (1) решена задача нахождения программного управления, т. е. при начальных данных

xe(t0) = xe0;

найдено программное управление uep(t) и соответствующее ему программное движение

xep(t) = xe(t; t0; xe0; uep(t)):

Ставится задача об исследовании на асимптотическую устойчивость решения xep(t) системы (1). Эту задачу удобно исследовать введя так называемую "систему в

отклонениях"[1]. Систему в отклонениях построим следующим образом: положим

(x = xe ¡ xep; u = ue ¡ uep;

ãäå x - n-мерный вектор отклонений от программного движения xep, u - r-мерный век-

тор отклонений от программного управления uep. В новых переменных (x; u) система

(1) будет иметь вид

Отметим, что по построению система (2) имеет нулевое решение, и, соответственно

F (t; 0; 0) = 0:

45

Это, в частности, приводит к тому, что если нулевое решение системы в отклонениях

(2) асимптотически устойчиво, то тогда соответствующее движение xep(t) исходной системы (1) также асимптотически устойчиво.

Определение 1. Управление, обеспечивающее асимптотическую устойчивость нулевого решения системы (2) будем называть стабилизирующим управлением.

При постановке задачи стабилизации существенными являются следующие вопросы.

1. Существут ли управления u, при которых нулевое решение системы (2) асимпто-

тически устойчиво.

2. Если такие управления существуют, то какими методами их можно построить. 3. Как из множества управлений можно выбрать оптимальное (оптимальные управления будут рассматриваться ниже).

Покажем, что для линейной системы вида

xe_ = A(t)xe + B(t)ue + f(t);

система в отклонениях будет иметь вид

x = A(t)x + B(t)u:

Действительно

x = xe_ ¡ xe_p =

=A(t)xe + B(t)ue + f(t) ¡ A(t)xep ¡ B(t)uep ¡ f(t) =

=A(t)(xe ¡ xep) + B(t)(ue ¡ uep) = A(t)x + B(t)u:

Стабилизация линейных стационарных систем. Рассмотрим стационарную систему в отклонениях

ãäå C - постоянная матрица размерности (r £n), будем называть допустимым управлением вида линейной обратной связи.

Задача стабилизации стационарной системы (3) состоит в том, чтобы построить допустимое управление вида (4), при котором замкнутая система

асимптотически устойчива, т. е. собственные числа матрицы (A + BC) имеют отри-

цательные вещественные числа.

Рассмотрим примеры решения задачи построения стабилизирующего управления, в которых управление будет иметь вид (4).

46

Пример 1. Построить стабилизирующее управление для системы

Управление имеет вид (4), где матрица C имеет размерность (1 £ 3)

= (¸ ¡ 1)(¸ ¡ 2)(¸ ¡ (c3 + 3));

откуда видно, что варьированием компонентой c3 матрицы C можно обеспечить одно отрицательноопределенное собственное число при

c3 < ¡3:

Однако, на остальные собственные числа

¸1 = 1; ¸2 = 2;

управление не влияет, и при любых значениях компонент матрицы C эти собственные

47

Пример 2. Рассмотрим систему вида

= (¸ + 1)(¸ + 2)(¸ ¡ (c3 + 3));

откуда видно, что варьированием компонентой c3 матрицы C можно обеспечить одно отрицательноопределенное собственное число при

c3 < ¡3:

На остальные собственные числа

¸1 = ¡1; ¸2 = ¡2;

48

управление не влияет. Однако, в отличии от примера 1, задачи стабилизации имеет решение, т. к. собственные числа (¸1; ¸2) имеют отрицательные вещественные части.

Следует отметить, что с помощью управления вида (4) не всегда возможно решить задачу стабилизации, а именно, задача не имеет решения, когда допустимое управление не влияет на изменение части собственных чисел "замкнутой" системы

x= (A + BC)x:

Âэтом контексте следует охарактеризовать собственные числа, на которые влияет управление, и собственные числа, на которые управление не влияет.

Определение 3. Собственное число системы

x = (A + BC)x;

называется неуправляемым, если при любом выборе матрицы C оно принадлежит спектру матрицы (A + BC). В противном случае оно называется управляемым [6].

49