ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 12

Лекция 12. Управление спектром линейной системы.

Âлекции 11 была рассмотрена декомпозиция линейной стационарной системы

x = Ax + Bu;

ñпомощью которой были выявлены управляемая и неуправляемая подсистемы. Под неуправляемой подсистемой подразумевается та часть переменных, на которые не влияет допустимое управление вида

u = Cx;

Соответственно, первым этапом решения задачи стабилизации является нахождение собственных чисел неуправляемой подсистемы. Если среди них есть числа с положительными вещественными частями, то тогда задача стабилизации не имеет решения. Иначе следует перейти к построению стабилизирующего управления для управляемой подсистемы. В данной лекции будет рассмотрена лемма, посвященная построению стабилизирующего управления для управляемой системы специального вида. Эта лемма является элементом решения общей задачи построения стабилизирующего управления для стационарных систем.

Рассмотрим управляемую систему

ãäå y - m-мерный вектор, матрица A0 размерности (m £ m) и вектор b0 размерности m имеют вид

Матрица A0 является матрицей Фробениуса и обладает рядом свойств, в частности сразу видны коэффициента характеристического полинома матрицы Фробениуса

det (¸E ¡ A) = ¸m + a1¸m¡1 + ¢ ¢ ¢ + am

т. е. они отображены в последнем столбце. Также, интересным является тот факт, что матрица Калмана для системы (1) имеет вид

S = (b0; A0b0; : : : ; Am0 ¡1b0) = E;

откуда видно, что система (1) является полностью управляемой в соответствии с критерием Калмана. Следовательно, у этой системы нет неуправляемых собственных чисел, и задача стабилизации имеет решение, т. е. допустимое управление вида

55

обеспечивает для управляемой системы собственные числа с отрицательными вещественными частями. Рассмотрим лемму, посвященную задаче построения управления для системы (1) с заранее заданными собственными числами.

Лемма 1. Для любого набора комплексных чисел (l1; l2; : : : ; lm) найдется такой

вектор-строка cò

0 , что собственные числа системы

Покажем справедливость того, что при заданном виде матрицы K будет выполняться

ки матрицы матрицы K на первый столбец матрицы Aò

0 .

56

Компонента j11 матрицы J = A0K получается в результате умножения первой строки на первый столбец матрицы

57

Рассмотрим допустимое управление вида

По виду матрицы этой системы также можно определить коэффициента характеристического многочлена (они находятся в последней строке, со знаком минус)

f(¸) = ¸m + (a1 ¡ ecm)¸m¡1 + ¢ ¢ ¢ + (am ¡ ec1):

Как было заявлено в формулировке леммы, мы хотим показать, что для любого набора комплексных чисел (l1; l2; : : : ; lm) найдется такой вектор-строка cò

0 , ÷òî ñîá-

ственные числа системы (3) будут совпадать с (l1; l2; : : : ; lm). Для этого рассмотрим многочлен

g(¸) = (¸1 ¡ l1)(¸2 ¡ l2) ¢ ¢ ¢ (¸m ¡ lm) = = ¸m + b1¸m¡1 + ¢ ¢ ¢ + bm;

который, в случае, если (l1; l2; : : : ; lm) являются собственными числами системы (3), является характеристическим многочленом, т. е.

g(¸) = f(¸):

Тогда справедлива система

>

> .

>

>

>

: am ¡ ec1 = bm;

откуда

8

> ec = a ¡ b ;

> 1 1 1

>

>

>

< ec2 = a2 ¡ b2;

>

> .

>

>

>

: ecm = am ¡ bm:

58

и стабилизирующее управление будет иметь вид

u = ecòz = ecòK¡1y:

0 0

откуда вектор-строка cò

0 , обеспечивающая для системы (3) любой наперед заданный набор собственных чисел имеет вид

cò = ecòK¡1:

0 0

¥

59