ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 14

Лекция 14. Алгоритмы решения задачи стабилизации в случаях полной и неполной управляемости линейной системы. Стабилизация нелинейных систем

по линейному приближению.

В первой части этой лекции будет рассмотрен алгоритм построения стабилизирующего управления для стационарной управляемой системы вида

где матрица A имеет размерность (n £ n), матрица B размерности (n £ r), вектор x

имеет размерность n, вектор u размерности r. Допустимое управление вида линейной обратной связи имеет вид

где матрица C размерности (r £ n). Следует так найти компоненты матрицы C, что при подстановке (2) в (1) "замкнутая" система

имеет в своем спектре собственные числа только с отрицательными вещественными частями. Подробное, разработанное изложение этого алгоритма приведено в [6].

Следует рассматривать два случая, характеризующих управляемую систему, а именно - случаи полной и неполной управляемости. Алгоритм будем излагать поэтапно, присваивая каждому этапу номер.

1. Случай полной управляемости. Первый этап. Рассматривается замена переменных

x = T y;

где матрица T имеет вид

T = (b1; A1b1; : : : ; Ak11¡1b1; b2; A1b2; : : : ; Ak12¡1b2; : : : ; bl; A1bl; : : : ; Ak1l¡1bl);

ãäå (b1; b2; : : : ; bl) - вектора матрицы B, k1+k2+¢ ¢ ¢+kl = n (n = rang(B; AB; : : : ; An¡1B)).

где блоки A11 è A22 - матрицы Фробениуса и их вид представлен в доказательстве леммы 1 лекции 13, там же приведен вид столбцов матрицы e

B.

Случай неполной управляемости. Первый этап. Рассматривается замена переменных

x = T y;

66

где матрица T имеет вид

где блоки A11 è A22 - матрицы Фробениуса и их вид представлен в доказательстве леммы 1 лекции 13, там же приведен вид столбцов матрицы e

B. Неуправляемой под-

системе соответствует блок A3, размерности ((n ¡ m) £ (n ¡ m)). Соответственно,

при такой ситуации следует проверить, все ли собственные числа неуправляемой подсистемы имеют отрицательные действительные части. Если это так, тот можно продолжить построение стабилизирующего управления, иначе задача стабилизации не имеет решения.

2. Случай полной управляемости. Второй этап. Вторым этапом является вторая замена переменных, существенно использующая аппарат леммы 1 лекции 12. В случае, когда l = 2, эта замена имеет вид

где блоки K11 è K22 имеют размерности (k1 £k1) è (k2 £k2) соответственно и построены также, как матрица K в лемме 1 лекции 12. Стабилизирующее управление для

системы в переменных z ищется в виде (при l = 2)

Случай неполной управляемости. Второй этап. Вторая замена переменных имеет вид

00 E((n¡m)£(n¡m))

где блоки K11 è K22 имеют размерности (k1 £k1) è (k2 £k2) соответственно и построены также, как матрица K в лемме 1 лекции 12. Стабилизирующее управление для

системы в переменных z ищется в виде (при l = 2)

67

В обоих случаях - полной и неполной управляемости, стабилизирующее управление имеет вид

u = Cz = CK¡1y = CK¡1T ¡1x:

Стабилизация нелинейных систем по линейному приближению. Решение задачи стабилизации для нелинейных систем часто бывает затруднительной из-за того, что нет универсальных методов, позволяющих строить управление для любых нелинейных систем. Бывает возможным решение подобных задач в специальных частных случаях и такие решение являются, как правило, с математической точки зрения очень интересными.

Распространенным методом изучения нелинейных систем является использование процедуры линеаризации системы в окрестности стационарного решения этой системы. Однако, следует отметить, что изучение свойств нелинейной системы с помощью его линейного приближения носит локальный характер.

Рассмотрим нелинейную систему в отклонениях [1]

ãäå x - n-мерный вектор, u - r-мерный вектор управления, вектор-функция F (x; u) предполагается непрерывно дифференцируемой по компонентам векторов x è u. Ò.

к. система (4) является системой в отклонениях, то (x = 0; u = 0) является ее стаци-

онарным решением. Реализуем процедуру линеаризации системы (4) в окрестности точки (x = 0; u = 0). Выделим в разложении функции F (x; u) линейные члены и в

результате получаем систему вида

f(x; u) - нелинейная часть в разложении (4) в окрестности (x = 0; u = 0). Будем предполагать, что f(x; u) отвечает оценке

Систему

68

куда не входит f(x; u), будем называть системой линейного приближения (4). Сфор-

мулируем теорему и условия решения задачи стабилизации в случае, когда управляемая система является нелинейной. Авторство этой теоремы принадлежит А. М. Ляпунову.

Теорема 1. О стабилизации по линейному приближению. Задача стабилизации для системы (4) имеет решение, если система линейного приближения (7) стабилизируема, а f(x; u) отвечает условию (6).

Доказательство. Система (7) является стабилизируемой и для него существует стабилизирующее управление вида линейной обратной связи

u = Cx:

В соответствии со вторым методом Ляпунова, это значит, что существует функция Ляпунова в виде положительно определенной квадратичной формы

v = v(x) = xòV x > 0;

такая, что ее полная производная по времени является отрицательно определенной квадратичной формой

dv

dt = xòV1x < 0:

Чтобы это было так, требуется, чтобы матрицы V è V1 отвечали условию

(A + BC)òV + V (A + BC) = ¡V1;

которое носит название "матричное уравнение Ляпунова". При определенной замене переменных можно получить, что

V1 = E;

и в этом случае матрица V должна удовлетворять уравнению

(A + BC)òV + V (A + BC) = ¡E:

Используя функцию Ляпунова для системы (7), покажем, что стабилизирующее управление для системы (7) будет также стабилизирующим управлением и для нелинейной системы (4) в некоторой окрестности точки (x = 0; u = 0). Также, построим

оценку для этой окрестности, или иными словами, построим область управляемости. Учитывая, что gradxv - вектор строка

учитывая, что V1 = E, представим полную производную по времени функции v(x) â âèäå

69

dv

dt = (gradxv; x) = (gradxv; Ax + Bu + f(x; u)) =

¡jjxjj2 + (gradxv; f(x; u)) · ¡jjxjj2 + 2jjV jj jjxjja(jjxjj + jjcjj jjxjj)1+b =

= ¡jjxjj2(1 ¡ 2a jjV jj (1 + jjcjj)1+b) jjxjjb):

Таким образом, для того, чтобы выполнилось dxdv < 0 (и соответственно функция v являлась функцией Ляпунова для системы (4)), требуется, чтобы выполнялось

неравенство

1 ¡ 2a jjV jj (1 + jjcjj)1+b) jjxjjb > 0;

откуда можно построить область, в которой функция v будет функцией Ляпунова

70