Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.04.2015

Размер:

106.67 Кб

Скачать

☆

Лекция 13. Необходимые и достаточные условия существования стабилизирующего управления.

В лекции 11 была рассмотрена декомпозиция линейной системы

x = Ax + Bu;

(1)

на управляемую и неуправляемую подсистемы. Управляемая подсистема имеет вид

y1 = A1y1 + B1u1;

(2)

где матрица A1 имеет размерность (m £m), матрица B1 размерности (m £r), вектор

y1 имеет размерность m, вектор u размерности r. Отметим, что m - число управля-

емых собственных чисел системы (1) (в соответствии с определением 3 лекции 10). Допустимое управление вида линейной обратной связи для системы (2) имеет вид

u1 = C1y1;

(3)

где матрица C1 размерности (r £ m). Система (2) является полностью управляемой

в соответствии с критерием Калмана (лемма 2 лекции 11).

Рассмотрим лемму, посвященную решению задачи стабилизации для системы (2).

Лемма 1. В управляемой подсистеме (2) выбором допустимого управления вида (3) можно обеспечить любой заданный набор собственных чисел для системы

y1 = (A1 + B1C1)y1:

(4)

Доказательство. Рассмотрим замену переменных

z = T ¡1y1;

с матрицей T

T = (b1; A1b1; : : : ; Ak11¡1b1; b2; A1b2; : : : ; Ak12¡1b2; : : : ; bl; A1bl; : : : ; Ak1l¡1bl);

ãäå (b1; b2; : : : ; bl) - вектора матрицы B1, неотрицательные целые числа (k1; k2; : : : ; kl) удовлетворяют уравнению

k1 + k2 + ¢ ¢ ¢ + kl = m:

Алгоритм построения столбцов матрицы T заключается в следующем: в качестве

первого столбца матрицы T берется первый столбец матрицы B1, затем рассматри- ваются столбцы вида

As1b1; s = 1; : : : ;

и в случае их линейной независимости от предшествующих столбцов матрицы T èõ

берут в качестве очередного столбца матрицы T . Если при некотором k1 столбец вида Ak11 b1 линейно зависим от уже имеющихся столбцов матрицы T , то тогда переходят

к второму столбцу матрицы B1 и проделывают аналогичную процедуру. Процедура

построения столбцов матрицы T продолжается до тех пор, пока число столбцов не достигнет m.

Для удобства изложения доказательства леммы рассмотрим случай, когда l = 2 и матрица T имеет вид

T = (b1; A1b1; : : : ; Ak11¡1b1; b2; A1b2; : : : ; Ak12¡1b2):

Линейную зависимость столбца Ak11 b1 представим в виде

Ak11 b1 = ¡a(1)1 Ak11¡1b1 ¡ a(1)2 Ak11¡2b1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a(1)k1 b1;

а линейную зависимость столбца Ak12 b2 от предшествующим столбцов матрицы T â âèäå

Ak12 b2 = ¡a(2)1 Ak12¡1b2 ¡ a(2)2 Ak12¡2b2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a(2)k2 b2¡

¡c(2)1 Ak11¡1b1 ¡ c(2)2 Ak11¡2b1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ c(2)k1 b1:

В новых переменных управляемая система имеет вид

			A1 e			B1		e	a1
		z = T ¡1A1T z + T ¡1B1u = A1z + B1u:
Рассмотрим, какую структуру имеют матрицы				e	è	e	. Первый столбец		e	матрицы
A1 удовлетворяет уравнению				e		e	. Первый столбец		e

e		T a1 = A1t(1)		;
ãäå t		- первый столбец матрицы T . e				t		= b1 имеем
	(1)	Учитывая, что				(1)

Tea1 = A1b1:

A1b1 - второй столбец матрицы T , и, следовательно, столбец ea1 имеет следующую

структуру

0 0 1

BC BB 1 CC

BC ea1 = BB 0 CC:

B. C

@ A

Второй столбец ea2 матрицы A1 удовлетворяет уравнению

Tea2 = A1t(2) = A21b1;

и при учете того, что A21b1 - второй столбец матрицы T , ea2 имеет вид

		0	0	1
		B	0	C
		B	1	C
		B		C
	a2	= B	0	C	:
		B	0	C
		B		C
	e	B		C
	e	B	.	C
		B	.	C
		B	0	C
		B	0	C
		B		C
		@		A
Подобную структуру имеют первые	k		столбцов матрицы A			, äëÿ k	-го столбца
справедливо следующее	(	1 ¡ 1)			e1	1

Teak1 = A1t(k1) = A1Ak11¡1b1 = Ak11 b1 =

=¡a(1)1 Ak11¡1b1 ¡ a(1)2 Ak11¡2b1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ a(1)k1 b1;

èследовательно, этот столбец имеет вид

	0	¡	ak(1)		1
	0	¡	(1)1		1
	B	¡ak1¡1			C
	B				C
	B		.		C
ak1	B		a	(1)	C	:
ak1	= B	¡	a	1	C	:
	B	¡		1	C
	B		0		C
e	B		0		C
e	B				C
	B				C
	B		.		C
	B		.		C
	B				C
	B		0		C
	B		0		C
	@				A

Далее, исходя из тех же соображений, что и при исследовании структуры первых

(k1 ¡ 1) столбцов матрицы

A1, можно показать схожую структуру и для ряда сле-

столбца (

)

дующих стобцов матрицы A1 (ñ (k1 + 1)-ãî ïî (k1 + k2 ¡ 1)-й).Для последнего, m-ãî

k1 + k2 = m

справедливо

T a

= A

(m)

= A

= a

(2)

¡1

(2)

¡2

(2)

1 (2)

(2)

¡ ¢ ¢ ¢ ¡

2¡

¡c1

b1 ¡ c2 A1

b1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ ck1

b1;

и следовательно,

-й столбец матрицы A

имеет вид

ck(2)

¡(2)1

¡ck1¡1

B .

(2)

= B

(2)

ak2

a(2)

B .

(2)

Таким образом матрица A

имеет вид

¢ ¢ ¢

ak(1)

¢ ¢ ¢

ck(2)

0 0

(1)1

(2)1

1 0 ¢ ¢ ¢ 0 ¡ak1¡1

0 0 ¢ ¢ ¢ 0 ¡ck1¡1

0 1

. .

. . .

. .

B .

... . .

. . .

(2)

0 1

(1)

0 0

(2)

¢ ¢ ¢

= B

0 0

(2)

A22

¢ ¢ ¢

(2)

¢ ¢ ¢

k2¡1

. .

(2)

¢ ¢ ¢

По диагонали матрицы A1 стоят блоки, представляющие из себя матрицы Фробе-

ниуса. Также, следует отметить, что в соответствии со свойствами определителя,
собственные числа	матрицы			A1 представляют из себя совокупность собственных чи-
			e
сел диагональных блоков матрицы A1.
Рассмотрим теперь		структуру матрицы				B1. Исходя из уравнений
				e	e
				B1 = T ¡1B1 )e T B1 = B1;
запишем уравнение для			первого столбца матрицы				B1
				e		e
					T b1 = b1;		e

, e

и учитывая, что b1 это первый столбец матрицы T b1 имеет вид

		0	0	1
		= B	1	C
b	1	= B	0	C	:
	1	B		C
		B		C
e		B	.	C
e		B	.	C
		B	0	C
		B	0	C
		B		C
		@		A

Исходя из аналогичных соображений, можно получить вид второго столбца матрицы
e1								0
B							0		1
							0		1
							B	.	C
							B	0	C
							B		C
T b	2	= b	2		b	2	= B	1	C	:
	2		2	)		2	B		C
				)			B	0	C
e					e		B	0	C
e					e		B		C
							B		C
							B	.	C
							B	.	C
							B		C
							B	0	C
							B	0	C
							@		A

где единица стоит на (k1 + 1) месте. Мы доказываем лемму при l = 2, ãäå l - число

столбцов матрицы B1, используемых в построении матрицы замены переменных T . Поэтому невозможно получить вид столбцов матрицы e

B1 из уравнений

T bs = bs; s = 3; : : : ; r:

Следовательно, матрица

будет иметь вид

= B

где символом "*" отображены (r ¡ l) (в данном случае (r ¡ 2)) столбцов матрицы

B1. Следует отметить, что если r = l, то тогда блоков вида "*"	в матрице B1 íå
e Стабилизирующее управление ищем в виде	e
присутствует.
u = Cz;

ãäå

C = 0 0

0 c2k1+1

c2m 1 =

0 0

c11 ¢ ¢ ¢

c1k1

0 ¢ ¢ ¢

C B

¢0¢ ¢

в итоге, замкнутая управляемая система в переменных z имеет вид

z =	Ã A11	+ b1c1	¤	!:
		ò
		0	A22 + b2c2ò

Собственные числа этой системы представляют из себя совокупность собственных чисел диагональных блоков. Проблема обеспечения блоков вида A11 è A22 наборами

наперед заданных собственных чисел решается в лемме 1 лекции 12. Таким образом, следует задать наборы собственных чисел для диагональных блоков (с отрицательным вещественными частями) и применить аппарат леммы 1 лекции 12 для нахождения компонентов матрицы C. В итоге, стабилизирующее управление будет иметь

âèä

u = Cz = CT ¡1y1:

Теперь можно подытожить рассуждения, реализованные в лемме 1 лекции 11, лемме 1 лекции 12 и лемме 1 лекции 13. Итогом этих рассуждений будет теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования стабилизирующего управления для управляемой стационарной системы (1). Кроме того, результатом этих рассуждений будет алгоритм построения стабилизирующего управления, который будет предложен в следующей лекции.

Теорема 1. О стабилизации линейных управляемых систем. Для того, чтобы управлении вида

u = Cx; C(r £ n);

было стабилизирующим для системы (1), необходимо и достаточно, чтобы вещественные части неуправляемых собственных чисел системы (1) были отрицательны.

Доказательство. Необходимость. Если хотя бы одно неуправляемое собственное число имеет неотрицательную вещественную часть, то тогда, как было показано в доказательстве леммы 1 лекции11, это собственное число останется в спектре управляемой системы с допустимым управлением вида линейной обратной связи. В следствии чего будет невозможна асимптотическая устойчивость нулевого решения

x = 0.

Доказательство. Достаточность. Достаточность является следствием рассуждений проводимых в лемме 1 лекции 11, лемме 1 лекции 12 и лемме 1 лекции 13.

Соседние файлы в папке Лекции по ТУ

#
16.04.2015130.41 Кб91.pdf
#
16.04.201584.67 Кб810.pdf
#
16.04.201596.42 Кб711.pdf
#
16.04.201584.39 Кб612.pdf
#
16.04.2015106.67 Кб813.pdf
#
16.04.2015116.38 Кб914.pdf
#
16.04.2015103.55 Кб715.pdf
#
16.04.201589.91 Кб616.pdf
#
16.04.2015101.96 Кб717.pdf
#
16.04.2015116.13 Кб719.pdf