ТУ - лекции Шмырова / Лекции по ТУ / 11

Лекция 11. Декомпозиция линейной управляемой системы.

Рассмотрим линейную стационарную систему

где матрица A имеет размерность (n £ n), матрица B размерности (n £ r), вектор x

имеет размерность n, вектор u размерности r. Допустимое управление вида линейной обратной связи имеет вид

где матрица C размерности (r £n). При подстановке (2) в (1) получаем "замкнутую" систему

В данной лекции будет рассмотрен первый этап исследования управляемой линейной системы вида (1) на полную управляемость. Этап будет заключаться в декомпозиции или разбиении системы (1) на управляемую и неуправляемую подсистемы с помощью специальной замены переменных. Также будет показано, что размерность неуправляемой подсистемы зависит от числа неуправляемых собственных чисел.

Лемма 1. О количестве неуправляемых собственных чисел. Åñëè

rang(B; AB; : : : ; An¡1B) = m; m · n;

то тогда в системе (3) будет (n ¡ m) неуправляемых собственных чисел.

Доказательство. Рассмотрим линейную оболочку, натянутую на линейно независимые вектора матриц B; AB; : : : ; An¡1B. Обозначим ее

Lin L ¢ ©B; AB; : : : ; An¡1Bª

=

Покажем, что Lin L содержит в себе вместе с любым своим элементом, элемент домноженный слева на A, ò. å.

l 2 Lin L ) Al 2 Lin L:

Это утверждение очевидно для столбцов матриц (B; AB; : : : ; An¡2B), однако не оче- видно для столбцов матрицы An¡1B. По теореме Гамильтона-Кэли, матрица является корнем своего характеристического многочлена

f(A) = An + a1An¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = 0;

или в другой форме

An = ¡a1An¡1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ an;

и умножая последнее равенство справа на B, имеем

50

AnB = ¡a1An¡1B ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ anB;

откуда видно, что каждый столбец матрицы AnB является линейной комбинацией столбцов матриц (B; AB; : : : ; An¡1B).

Как было сформулировано в лемме 1,

Tea1 = Al1:

Как было отмечено выше, Al1 2 Lin L, следовательно, этот вектор принадлежит m-мерному пространству, что влечет за собой следующую структуру вектора ea

где последние (n ¡ m) компоненты нулевые.

51

матрицы e

52

В результате замены переменных x ! y была произведена декомпозиция системы на

управляемую и неуправляемую подсистемы. Для того, чтобы задача стабилизации имела решение, требуется, чтобы собственные числа в неуправляемой подсистеме имели отрицательные вещественные части. Допустимое управление будет иметь вид

u = ¡ C1 0 ¢;

где матрица C1 имеет размерность (r £ m). Замкнутая система будет иметь вид

откуда видно, что у системы (7) набор собственных чисел (в соответствии со свойствами определителя) совпадает с набором собственных чисел диагональных блоков A1 + B1C1 è A3. Если собственные числа матрицы A3 имеют неотрицательнын соб-

ственные числа, то тогда задача стабилизации не имеет решения. В противном случае

53

ищется стабилизирующее управление для управляемой подсистемы, обеспечивающее отрицательность вещественных частей собственных чисел матрицы (A1 + B1C1). Ïî

отношению к системе (1), стабилизирующее управление будет иметь вид

u = ¡ C1 0 ¢T ¡1x:

Лемма 2. Следствие леммы 1. Управляемая подсистема

y1 = A1y1 + B1u

является полностью управляемой.

Доказательство. В формулировке леммы 1 дано, что

rang(B; AB; : : : ; An¡1B) = m; m · n;

домножим слева блочную матрицу на T ¡1. В результате этого умножения получится матрица, ранг которой будет также m , ò. ê. det T ¡1 =6 0

T ¡1(B; AB; : : : ; An¡1B) =

= (T ¡1B; T ¡1AB; : : : ; T ¡1An¡1B):

В доказательстве леммы 1 было показано, что блок T ¡1B имеет вид

T ¡1B = Ã B1 !;

0

ãäå áëîê B1 имеет размерность (m £ r). Рассмотрим, какую структуру имеют блоки

(T ¡1B; T ¡1AB; : : : ; T ¡1An¡1B), имеем

Подобную же структуру можно проиллюстрировать и для последующих блоков, вплоть до T ¡1An¡1B

Таким образом

где последние (n ¡ m) строк нулевые. Ранг этой матрицы равен m, что влечет за

собой полную управляемость в соответствии с критерием Калмана.

¥

54