Физика механика лекции и вопросы / OF1_1_Sistemy_edinits_mini

1.1.8. Произведение вектороворов.. Двойные произведенияия

Скалярное произведение двух векторов обозначается как (a b) и определяется как число, равное

|а|·|b|·cosφ, где |а|, |b| – длины соответствующих векторов, а φ – угол между ними.

Скалярное произведение

(Scalar product)

Законы скалярного умножения векторов

Закон коммутативности (переместительности):

Скалярное произведение не изменяется от перестановки множителей.

Закон дистрибутивности (распределительности):

Скалярное умножение вектора на сумму векторов можно производить почленно.

Закон ассоциативности (сочетательности) относительно скалярных множителей:

Скалярное произведение не изменится, если скалярный множитель вынести за скобки.

Векторное произведение

(Vector product)

Векторное произведение, обозначаемое как [a b]

или как a× b, определяется как вектор, имеющий длину |а|·|b|·sinφ, перпендикулярный к плоскости векторов a, b и направленный так, чтобы тройка a, b, [a b] была правой. Векторы правой (левой) тройки расположены по отношению друг к другу так же, как большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки. При этом наблюдателю из общего начала векторов обход концов векторов в порядке a, b, [a b] кажется совершаемым по (против) часовой стрелки. Правая тройка переходит в левую при обращении направления одного или всех векторов тройки.

Левая и правая тройки

Векторное произведение

(Vector product)

Векторное произведение

(Vector product)

Векторное произведение

(Vector product)

Правила произведений

(Product rules)

При перестановке сомножителей скалярное произведение не изменяется, а векторное изменяет знак. Скалярное произведение обращается в 0 для перпендикулярных (ортогональных) векторов, а векторное – для параллельных (коллинеарных) из-за величины sinφ. Имеет место свойство линейности скалярного и векторного произведений по одному из аргументов (любому):

Тождество Лагранжа

(Lagrange’s identity)

( a ´ b) ×( c ´ d ) = ( a × c )( b × d ) - ( a × d )( b × c )