Лабораторная работа № 5
«Пакет mathematica»
Математическое моделирование гетероструктуры. Движение электрона в системе потенциальных ям и барьеров прямоугольной формы.
Основные уравнения
Рассмотрение задачи движения электрона в системе потенциальных ям и барьеров прямоугольной формы упрощается тем, что решение уравнения Шредингера в области с постоянной потенциальной энергией U(x) = const имеет очень простой вид.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
(1)
в области с постоянной потенциальной энергией имеет следующие решения
Если E > U , то имеем
(2)
Если E < U , то имеем
(3)
где
Для наших целей удобно решение уравнения Шредингера представить в следующем виде
(4)
где действительные функции f(x), g(x) определены следующим образом
(5)
Здесь d - ширина ямы или барьера, в которых ищется решение уравнения Шредингера
В дальнейшем удобно линейные размеры системы и координаты задавать в ангстремах, а энергии в электроновольтах. Тогда типичные значения расстояний d 50 , а энергий U, E 0.5 eV . Эффективную массу электрона в гетероструктуре возьмем в 10 раз меньшую, чем для свободного электрона. В этом случае параметр q = 0.162 .
При переходе через границу двух соседних областей должны выполняться граничные условия – непрерывность волной функции и ее производной. Поэтому приведем формулы для производных
(6)
Рассмотрим задачу на нахождения дискретного энергетического спектра электрона в гетероструктуре следующего вида
U
UL U1 UR
U2 UN-1 UN
d1 d2 dN-1 dN
E
0 . . . . . x
x1 x2 x3 xN-1 xN xN+1
В этой структуре имеются три характерные области. Слева в области x < x1 энергия электрона E < UL . Поэтому волновая функция в этой области имеет вид
(7)
Справа в области x > xN+1 энергия электрона E < UR . Поэтому волновая функция в этой области имеет вид
(8)
Третья область состоит из N частей. В каждой из этих областей волновая функция имеет вид
(9)
где функции fn(x) , gn(x) находятся по формулам (6)
Граничные условия
Рассмотрим граничные условия в точке x = xn+1 . Слева и справа от этой границы волновые функции имеют вид
(10)
В самой точке x = xn+1 должны выполняться условия
(11)
После подстановки (10) в (11) получаем систему уравнений
(12)
Эту систему удобно переписать в матричном виде
(13)
где матричные элементы определяются по формулам
Нам улыбнулась удача, так как
Теперь легко связать амплитуды A1, B1 волновой функции в области n = 1 и амплитуды AN, BN волновой функции в области в области n = N.
(14)
Далее в точке x = x1 сшиваем функции и производные
В результате получаем систему
(15)
которую можно записать в матричном виде
(16)
Затем в точке x = xN+1 сшиваем функции и производные
В результате получаем систему
(17)
которую можно записать в матричном виде
(18)