Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
8
Добавлен:
16.04.2013
Размер:
108.54 Кб
Скачать

8

Глава II. Решение нелинейного уравнения Пуассона.

Эта задача возникла из решения уравнения теплопроводности, где вместо температуры T(r, z) вводится новая функция по формуле

Неизвестная функция Y(r, z) обладает цилиндрической симметрией и удовлетворяет нелинейному уравнению Пуассона.

(II.1)

Уравнение (1) будем решать с краевыми условиями

Условие 1) предполагает, что имеет место следующая симметрия

Так как мы ищем решение уравнения (1) во всем трехмерном пространстве с указанными граничными условиями на бесконечности, то теория потенциала позволяет свести эту задачу к решению интегрального уравнения

(II.2)

где x0 , y0 , z0 - координаты рассматриваемой точки пространства, а x , y, z - переменные интегрирования.

Примем во внимание цилиндрическую симметрию этой задачи и в интеграле (2) перейдем к цилиндрической системе координат. В силу цилиндрической симметрии можно взять любую точку в плоскости xy на заданном расстоянии r0 от оси Oz . Поэтому положим x0 = r0 , y0 = 0

(II.3)

Вычисляем внутренний интеграл по углу 

Здесь K(m) -полный эллиптический интеграл первого рода.

Интегральное уравнение (2) принимает вид.

(II.4)

где интегральное ядро имеет вид

(II.5)

Для вычисления интеграла (4) удобно перейти к безразмерным координатам. Это можно сделать, если подинтегральная функция f(r, z) отлична от нуля в некоторой конечной области с эффективным радиусом Reff . Тогда введем безразмерные координаты

Переопределим также функции

После такой замены интегральное уравнение (4) имеет тот же вид

(II.6)

(II.7)

Тестирование алгоритма вычисления интеграла (4) или (6).

Тестирование алгоритма вычисления интеграла (4) будем проводить с заданной подинтегральной функцией f(r, z) . Интеграл будем вычислять численными методами и сравнивать с точным решением найденным аналитически. Поэтому нам надо иметь точное решение линейного уравнения Пуассона

(II.8)

1. Нахождение эталонного аналитического решения уравнения Пуассона.

Остановимся на сферически симметричных решениях уравнения (8). Будем считать

Тогда уравнение (8) примет вид

(II.9)

Нас интересуют функции f(R) локализованные в некоторой ограниченной области 0 <R <Reff .В этом случае легко показать, что при R   имеем

(II.10)

Поэтому ищем решение уравнения (9) в виде

(II.11)

где

(II.12)

Из (9) для функции g(R) получаем уравнение

(II.13)

Решаем уравнение (13) прямым интегрированием

(II.14)

В двукратном интеграле меняем порядок интегрирования и получаем

(II.15)

Граничное условие (12) приводит к соотношению

(II.16)

Теперь решение Y(R) имеет вид

(II.17)

Исследуем поведение решения (17) вблизи нуля. Разлагая (19) в ряд при R  0 получаем

(II.18)

Если нас интересует конечное в нуле решение, тогда надо положить C2 = 0. Итак, нужное нам эталонное решение имеет вид

(II.19)

Пример 1

Рассмотрим f(R) которая резко обрывается до нуля при R = R0

(II.20)

Подставляем (20) в (19) и получаем

(II.21)

Пример 2

Рассмотрим функцию f(R) которая постепенно переходит в ноль и близка по характеру убывания к нашей задаче о теплопроводности

(II.22)

Подставляем (22) в (19) и получаем

(II.23)

Пример 3

При численном интегрировании бесконечные пределы интегрирования мы заменяем некоторым конечным окном интегрирования 0  R  L . Поэтому для того чтобы оценить ошибку при отбрасывании внешней бесконечной области интегрирования рассмотрим обрезанную подинтегральную функцию f(R) .

(II.24)

Подставляем (24) в (19) и получаем

(II.25)

Оценка ошибки при выборе окна интегрирования.

Для бесконечного интервала интегрирования 0  R <  точным решением является решение Y2(R) . При выборе конечного окна интегрирования 0  R  L получаем приближенное решение Y3(R) . Найдем относительную ошибку Y(R) при замене точного решения на приближенное решение в интервале 0  R  L .

(II.26)

Функция Y(R) возрастающая в интервале 0  R  L , поэтому найдем значения этой функции на концах этого интервала

(II.27)

Составим таблицу зависимости Ymin , Ymax от x = L / R0 .

x

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Ymin

0.6

0.32

0.135

0.045

0.011

0.0022

0.0003

Ymax

0.7

0.45

0.225

0.090

0.027

0.0062

0.0011

Итак, при x = 3 ошибка равна Y = (1 3)10-2 , а при x = 4 ошибка будет на порядок меньше Y = (0.3 1)10-3 . Если мы хотим чтобы относительная ошибка, возникающая при замене бесконечных пределов интегрирования конечным окном, была не менее 0.001, мы должны выбрать окно с размерами L  4R0 .

Далее тестирование алгоритма вычисления интеграла будем проводить сравнивая результат вычисления интеграла с решением Y3(R).

Соседние файлы в папке Мат Моделирование (ЭКТ-37, Корнеев)