u_practice

а) kfk ≥ 0, причем kfk = 0 только для f = o,

б) kcfk = |c| kfk при произвольном вещественном c и f F ,

в) kf1 + f2k ≤ kf1k + kf2k для любых f1, f2 F (неравенство треугольника).

Определение 9.3. Последовательность fm, m = 1, 2, ... элементов из F называется фундаментальной, если > 0 N = N( ) такое, что k, m >

Nkfk − fmk < .

Определение 9.4. Линейное нормированное пространство называется

полным, если для любой фундаментальной последовательности его элементов найдется элемент этого пространства, к которому она сходится.

Полное линейное нормированное пространство B называется банаховым пространством.

Определение 9.5. Будем говорить, что в линейном пространстве H введено скалярное произведение, если любой паре элементов h1, h2 H поставлено в соответствие вещественное число (h1, h2) (скалярное произведение этих элементов), и это соответствие обладает следующими свойствами:

а) (h1, h2) = (h2, h1),

б) (h1 + h2, h) = (h1, h) + (h2, h),

в) для любого вещественного c верно (ch1, h2) = c(h1, h2), г) (h, h) ≥ 0, причем (h, h) = 0 только при h = o.

Определение 9.6. Линейное пространство H со скалярным произведе-

p

нием, полное в норме khk = (h, h), порождаемой этим скалярным произведением, называется гильбертовым пространством.

Определение 9.7. Множество R B называется плотным в нормированном пространстве B, если для любого элемента f B существует последовательность fk, fk R, k = 1, 2, ..., сходящаяся к f (fk → f при k → ∞).

Определение 9.8. Множество Ω Em называется множеством (лебеговой) меры нуль, если для любого ε > 0 можно найти покрывающее его счетное множество открытых (m – мерных) кубов, сумма объемов которых меньше ε.

Определение 9.9. Если некоторое свойство выполнено всюду в Ω Em за исключением, может быть, множества меры нуль, то говорят, что это свойство выполнено почти всюду в Ω (записывают п.в. в Ω).

Определение 9.10. Функция, определенная в области Ω, называется измеримой в Ω, если она является пределом п.в. в Ω сходящейся последовательности функций, непрерывных на Ω.

Определение 9.11. Неотрицательная п.в. в Ω функция f(x) называется интегрируемой по Лебегу в Ω, если существует п.в. в Ω сходящаяся к ней

51

монотонно неубывающая последовательность fk(x), k = 1, 2, ..., функций,

непрерывных на Ω с ограниченной сверху последовательностью интегралов

R

(Римана): fk(x) dx ≤ C, k = 1, 2, .... При этом точная верхняя грань мно-

Определение 9.12. Функция f(x) называется интегрируемой по Лебегу по области Ω, если ее можно представить в виде разности f(x) = f1(x) − f2(x) двух неотрицательных функций, интегрируемых по Лебегу. При этом интеграл Лебега от функции f(x) определяется равенством

Определение 9.13. Множество измеримых по Лебегу на Ω и интегрируемых по Лебегу по области Ω функций обозначается L1(Ω).

Определение 9.14. Множество измеримых и интегрируемых с квадратом по Лебегу по области Ω функций обозначается L2(Ω).

Введем обозначения

Dαf(x) = ∂|α|f(x1, x2, ..., xm).

Здесь α = (α1, α2, ..., αm) – мультииндекс, αi ≥ 0 -целые, i = 1, m, |α| =

α1 + α2 + ... + αm.

Определение 9.15. Пространство функций, непрерывных на множестве Ω Em, обозначают C(Ω).

Пространство C(Ω) является линейным пространством. Определение 9.16. Пространство функций, непрерывных на множе-

стве Ω Em, обозначают C(Ω).

В пространстве C(Ω) вводится норма

||u||C(Ω) = max |u(x)|.

Ω

Пространство C(Ω) является банаховым пространством. Определение 9.17. Пространство функций, непрерывно дифференци-

руемых до порядка k включительно на множестве Ω Em, обозначают

Ck(Ω):

Ck(Ω) = {f(x)| Dαf(x) C(Ω) α, |α| ≤ k} .

52

Пространство Ck(Ω) является линейным пространством. Определение 9.18. Пространство функций, непрерывно дифференци-

руемых до порядка k включительно на множестве Ω Em, обозначают

Ck(Ω):

Ck(Ω) = f(x)| Dαf(x) C(Ω) α, |α| ≤ k .

В пространстве Ck(Ω) вводится норма

Пространство Ck(Ω) является банаховым пространством. Определение 9.19. Пространство функций, измеримых по Лебегу на

множестве Ω Em и интегрируемых по Лебегу со степенью p, обозначают

Lp(Ω):

Впространстве Lp(Ω) вводится норма

1/p

Пространство Lp(Ω) является банаховым пространством. Определение 9.20. Пространство функций, измеримых по Лебегу на

множестве Ω Em и интегрируемых по Лебегу со степенью p на любом Ω0, строго вложенном в Ω, обозначают Lp,loc(Ω).

Заметим, что Lp(Ω) Lp,loc(Ω).

Определение 9.21. Последовательность fm, m = 1, 2, ..., элементов из H называется сходящейся сильно к элементу f из H (fm → f при m → ∞), если kf − fmkH → 0 при m → ∞.

Определение 9.22. Последовательность fm, m = 1, 2, ..., элементов из H называется сходящейся слабо к элементу f из H (fm → f при m → ∞), если для любого h H (fm, h) → (f, h) при m → ∞.

Задачи и упражнения

9.1. Установить, что следующие множества являются множествами меры нуль в m-мерном пространстве:

53

1)конечное множество точек,

2)счетное множество точек,

3)пересечение счетного множества множеств меры нуль,

4)объединение счетного множества множеств меры нуль,

5)гладкая (m − 1) – мерная поверхность,

6)гладкая (k) – мерная поверхность (k ≤ m − 1).

9.2.При каких значениях α интегрируемы по шару |x| < 1 следующие

функции:

а) f(x) = |x1|α ; б) f(x) = (1−1|x|)α .

Доказать следующие утверждения:

9.3.Если f, g L1(Ω), то αf + βg L1(Ω) при любых постоянных α и β.

9.4.Если f1, f2 L2(Ω), то αf1 + βf2 L2(Ω) при любых постоянных α и

β.

9.5.Ни одно из включений: L1(Em) L2(Em), L2(Em) L1(Em) места не имеют.

9.6.Если f, g L2(Ω), то f · g L1(Ω).

9.7. Если f, g L2(Ω), то имеет место неравенство Буняковского

9.8. Если f, g L2(Ω), то имеет место неравенство Минковского

9.9. Найти интегралы по отрезку [0, 1] от следующих функций (предвари-

54

Доказать следующие утверждения:

9.12.Если последовательность fk(x), k = 1, 2, ..., функций из L2(Ω) сходится к f(x) по норме L2(Ω), то она сходится и слабо к f(x) в L2(Ω).

9.13.Если последовательность fk(x), k = 1, 2, ..., функций из L2(Ω) сходит-

RR

ся к f(x) по норме L2(Ω), то fk dx → f dx, k → ∞ (Ω - ограниченная

ΩΩ

область).

∞

P

9.14. Если uk L2(Ω), k = 1, 2, ..., и ряд uk(x) сходится к u(x) по норме

k=1

∞

9.15.Если последовательность fk(x), k = 1, 2, ..., функций из C(Ω) сходится к f(x) равномерно в Ω, то она сходится и по норме L2(Ω) (Ω - ограниченная область).

9.16.Если последовательность fk(x), k = 1, 2, ..., функций из L2(Ω) схо-

дится слабо к f(x) L2(Ω), то последовательность норм ||fk(x)||L2(Ω), k = 1, 2, ..., ограничена.

9.17. Если последовательность fk(x), k = 1, 2, ..., функций из L2(Ω) сходится слабо к f(x) L2(Ω) и ||fk(x)|| → ||f(x)|| при k → ∞, то эта последовательность сходится к f(x) и по норме L2(Ω).

55

10. Обобщенные производные. Пространства Соболева

Пусть Ω Em некоторая ограниченная область с гладкой границей

∂Ω.

Пограничной полосой области Ω называется совокупность точек этой области, обладающих тем свойством, что их расстояние до ∂Ω не превосходит заданной постоянной δ > 0, называемой шириной полосы.

Определение 10.1. Функция g(x) называется финитной в области Ω,

если она обращается в ноль в некоторой пограничной полосе области Ω.

◦

Пространство непрерывных финитных в Ω функций обозначается C (Ω).

Пространство k раз непрерывно дифференцируемых финитных в Ω функ-

◦

ций обозначается Ck (Ω).

Определение 10.2. Функция fα(x) L2,loc(Ω) называется обобщенной производной по Соболеву порядка α функции f(x) L2,loc(Ω), если для

◦

любой функции g(x) C|α| (Ω) имеет место равенство

Определение 10.3. Множество функций, имеющих все обобщенные производные до порядка k включительно, принадлежащие пространству

Пространства Hk(Ω) называют пространствами Соболева.

Определение 10.4. Следом f|S функции f C(Ω) на (m−1) – мерной поверхности S называется значение на этой поверхности функции, которая определена в каждой точке, непрерывна в Ω и почти всюду совпадает с f на S.

Верна

лемма о следе. Пусть S – некоторая (m − 1) – мерная поверхность, лежащая в Ω. Тогда для любой функции f H1(Ω) имеет место неравенство

kf|SkL2(S) ≤ CkfkH1(Ω), C > 0.

56

Здесь константа C не зависит от функции f.

Из леммы о следе следует, что если fk(x), k = 1, 2, ... - последовательность функций из C1(Ω), сходящаяся в норме H1(Ω) к f(x), S - гладкая (m − 1)-мерная поверхность, лежащая в Ω, то последовательность следов функций fk(x) на S сходится в норме L2(S) к некоторой функции g(x) L2(S), которую называют следом f|S функции f(x) на поверхности S Ω. Доказывается, что f|S не зависит от выбора последовательности fk(x).

Пример 10.1. Определить след функции

Решение. Рассмотрим последовательность заданных на Ω функций fk(x) ≡ 1, k = 1, 2, . . . . Так как fk = f при x Ω и обобщенные производные (здесь обобщенные производные в области Ω совпадают с классиче-

скими) ∂fk = ∂f , i = 1, m, при x Ω, то для функций fk и f имеет место

∂xi ∂xi

тождество kf(x) − fk(x)kH1(Ω) = 0, k = 1, 2, . . . . То есть fk(x) → f(x) при k → ∞ по норме пространства H1(Ω). След fk|∂Ω непрерывной в Ω функции fk, k = 1, 2, . . . , на границе ∂Ω равен 1. Предел последовательности

fk|∂Ω в норме пространства L2(∂Ω) равен 1. Значит, f|∂Ω = 1.

◦

Определение 10.5. Замыкание пространства Ck (Ω) в норме простран-

◦

ства H1(Ω) обозначается Hk (Ω).

◦

Замечание. Если функция f H1 (Ω), то ее след f|∂Ω на границе

области Ω равен нулю.

◦

Действительно, из определения пространства H1 (Ω) следует, что для

◦

Из последнего неравенства получаем, что kf|∂ΩkL2(∂Ω) = 0. Отсюда f|∂Ω = 0.

Определение 10.6. Два скалярных произведения (u, v)I и (u, v)II и соответсвующие им нормы ||u||I и ||u||II называются эквивалентными в

57

гильбертовом пространстве H, если существуют постоянные c1 > 0 и c2 > 0 такие, что для любого u H справедливы неравенства c1||u||I ≤ ||u||II ≤ c2||u||I .

Верно

неравенство Стеклова (Пуанкаре-Фридрихса)

ZZ

◦

которое справедливо для функций из пространства H1 (Ω), здесь c > 0 – постоянная, зависящая только от свойств области Ω.

◦

Пример 10.2. Доказать, что скалярные произведения в H1 (Ω)

Z

(f, g) = [fg + rf · rg] dx,

Ω

Z

(f, g)I = [| sin |x||fg + 2rf · rg] dx

Ω

эквивалентны.

Решение. Скалярные произведения эквивалентны, если эквивалентны порождаемые ими нормы

Z

kfk2I = [| sin x|f2 + 2|rf|2] dx ,

Ω

то есть если существуют костанты c1 > 0 и c2 > 0 такие, что для любой

◦

функции f H1 (Ω)

c1kfk ≤ kfkI ≤ c2kfk.

Рассмотрим первое неравенство, учитывая, что | sin |x|| ≥ 0,

используя неравенство Стеклова (Пуанкаре-Фридрихса)

ZZ

58

◦

Задачи и упражнения

10.1.Установить, что смешанная о.п. не зависит от порядка дифференцирования.

10.2.Показать, что из существования о.п. Dαf не следует, вообще говоря, существования о.п. Dα0 f при αi0 ≤ αi, i = 1, ..., m, |α0| < |α|.

Указание. Рассмотреть функцию f(x1, x2) = f1(x1) + f2(x2), где fi не имеют обобщенной производной первого порядка по xi.

10.3. Показать, что если в области Ω функция f(x) имеет о.п. Dαf, то и

в любой подобласти Ω0 Ω функция f(x) имеет на Ω0 о.п. fα и fα = Dαf на Ω0.

10.4. Пусть в области Ω1 задана функция f1(x), имеющая о.п. Dαf1, а в области Ω2 функция f2(x), имеющая о.п. Dαf2. Доказать, что если Ω1 Ω2область, и для x Ω1 ∩ Ω2, f1(x) = f2(x), то функция

имеет о.п. Dαf в Ω1 Ω2, равную Dαf1 в Ω1 и Dαf2 в Ω2. 10.5. Пусть в шаре |x| < 1 задана функция

1, если |x| < 1, x2 > 0, f(x1, x2) = − | |

1, если x < 1, x2 < 0.

Доказать, что f(x1, x2) имеет о.п. первого порядка в каждом из полукругов, но не имеет о.п. по x2 в круге |x| < 1.

59

10.6. Вычислить производные первого и второго порядков следующих функций 1) y = |x| sin x; 2) y = |x| cos x в области |x| ≤ α, α R.

Доказать утверждения:

10.7. Если в области Ω у функции f(x) существует о.п. Dαf = ω(x), а у функции ω(x) существует о.п. Dβω, то существует о.п. Dα+βf.

10.8. а) y = signx 6 H1(−1, 1), б) y = |x| H1(−1, 1), y = |x| 6 H2(−1, 1).

◦

10.9. Если f H1(Ω) и g H1 (Ω), то для всех i = 1, 2, . . . , m, справедли-

RR

ва формула fgxi dx = − gfxi dx (формула интегрирования по частям).

Ω Ω

10.10. Если f H1(Ω) и g H1(Ω), то для всех i = 1, 2, . . . , m, справедлива формула

где под знаком интеграла по границе ∂Ω стоят следы функций f и g на

∂Ω.

◦

10.11. Для любой f(x) H1 (a, b) имеет место неравенство (одномерный вариант неравенства Стеклова (Пуанкаре - Фридрихса))

10.12. Доказать существование такой постоянной c > 0, что для любой

◦

f H1 (Ω) имеет место неравенство Стеклова (Пуанкаре - Фридрихса)

скалярные произведения в H1 (Ω)

Z

(f, g) = [fg + (rf, rg)] dx,

Ω

60