u_practice

Задания, помеченные символом ’*’, предназначены для самостоятельной работы и приведены без ответов.

4.22. В полуполосе 0 < x < l, t > 0 для уравнения utt = a2uxx решить задачу со следующими условиями:

ux(t, 0) = ux(t, l) + hu(t, l) = 0, u(0, x) = 0, ut(0, x) = 1.

4.23. Однородная струна, закрепленная на концах x = 0, x = l, имеющая

U− const.

5.Краевые задачи для уравнений параболического

типа

Рассмотрим уравнение теплопроводности

ut = div(p(x)ru) − q(x)u + f(t, x), x Ω Em, t (0, T ),

31

Краевые задачи для уравнения теплопроводности ставятся следующим образом:

найти функцию u(t, x) C2(QT ) ∩ C1(QT ), удовлетворяющую уравнению в области QT = (0, T ) × Ω, начальному условию

u|t=0 = u0(x), x Ω

где α(x) ≥ 0, β(x) ≥ 0, ϕ(t, x) заданные функции на ST , n внешняя нормаль к ST .

В этом случае функция u(t, x) называется классическим решением краевой задачи. Если задана первая краевая задача, то достаточно, чтобы функция u(t, x) C2(QT ) ∩ C(QT ).

1.В случае α = 1, β = 0 имеем краевые условия первого рода (первая краевая задача).

2.В случае α = 0, β = 1 имеем краевые условия второго рода (вторая краевая задача).

3.В случае α 6= 0, β 6= 0 имеем краевые условия третьего рода (третья краевая задача).

Если выполнены необходимые условия гладкости

p(x) C1(Ω), q(x) C(Ω), f(t, x) C(QT ),

u0(x) C1(Ω), ϕ(t, x) C(ST ),

то краевая задача имеет единственное решение [2].

Пример 5.1. Найти решение уравнения

ut = uxx, (t, x) (0, T ) × (0, l),

32

X

k=0

33

Если граничные условия неоднородны, то необходимо выполнить замену искомой функции так, чтобы граничные условия для нее были однородными.

Пример 5.2. Найти решение первой краевой задачи

ut = a2uxx, 0 < x < l, t > 0,

u(0, x) = Ax/l, u(t, 0) = 0, u(t, l) = Ae−t, A = const.

Решение. Нам нужно найти решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Граничные условия неоднородные, поэтому введем новую функцию v(t, x) так, что u(t, x) = v(t, x) + xl Ae−t. Для новой функции имеем задачу с однородными краевыми условиями

vt = a2vxx + xl Ae−t, 0 < x < l, t > 0, v(0, x) = 0, v(t, 0) = 0, v(t, l) = 0, A = const.

Задача Штурма - Лиувилля, соответствующая рассматриваемой краевой задаче, имеет вид

X00(x) + λX(x) = 0, x (0, l),

X(0) = 0, X(l) = 0.

Нетривиальное решение полученной задачи возможно только при λ > 0, при этом √ √

X(x) = c1 sin( λx) + c2 cos( λx),

подставляя краевые условия

X(0) = c2 = 0,

√

X(l) = c1 sin( λl) = 0,

√

получаем λl = πk, k = 1, 2, ... и

πk Xk(x) = ck sin( l x).

Решение ищем в виде ряда

∞

X

v(t, x) = Tk(t)Xk(x),

k=1

34

где Xk(x) решения задачи Штурма-Лиувилля

Чтобы получить уравнение для Tk(t), разложим функцию xl Ae−t в ряд Фурье по системе функций {sin(πkl x)} (k = 1, 2, ...) на отрезке (0, l).

1, 2, . . . .

Подставляя функцию v(t, x), определенную выше в виде ряда Фурье, и разложение в ряд Фурье функции xl Ae−t в уравнение, получим

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, его решение (при (akπ)2 6= l2)

35

k=1

Задачи и упражнения

В полуполосе 0 < x < l, t > 0 найти решения уравнения ut = a2uxx со следующими условиями:

5.1. u(t, 0) = u(t, l) = 0, u(0, x) = Ax, A = const.

Найти решения задач:

5.4. ut = α2uxx − βu, β = const, 0 < x < l, t > 0, u(t, 0) = ux(t, l) = 0, u(0, x) = sin πx2l .

5.5.ut = a2uxx, 0 < x < l, t > 0, ux(t, 0) = ux(t, l) = q, u(0, x) = Ax, A, q = const.

5.6. ut = α2uxx − βu + sin πxl , 0 < x < l, t > 0, β = const,

ux|x= π2 = 1, u|t=0 = x.

36

5.15.ut = uxx + 4u + x2 − 2t − 4x2t + 2 cos2 x, 0 < x < π, ux|x=0 = 0, ux|x=π = 2πt, u|t=0 = 0.

ux|x=π = t2, u|t=0 = cos 2x.

5.18. ut − uxx − 9u = 4 sin2 t cos 3x − 9x2 − 2, 0 < x < π, ux|x=0 = 0, ux|x=π = 2π, u|t=0 = x2 + 2.

5.19.ut = uxx + 6u + 2t(1 − 3t) − 6x + 2 cos x cos 2x,

0 < x < π2 ,

ux|x=0 = 1, u|x= π2 = t2 + π2 , u|t=0 = x.

5.20.ut = uxx + 6u + x2(1 − 6t) − 2(t + 3x) + sin 2x,

0 < x < π,

ux|x=0 = 1, ux|x=π = 2πt + 1, u|t=0 = x.

Задания, помеченные символом ’*’, предназначены для самостоятельной работы и приведены без ответов.

u(0, x) = f(x), u(t, 0) = 0, (ux + hu)|x=l = 0, h = const > 0.

5.23. ut = a2uxx + Qc , −R < x < R, t > 0,

6. Задача Коши для волнового уравнения

Классической задачей Коши для волнового уравнения называется задача о нахождении функции u(t, x) класса C2(t > 0) T C1(t ≥ 0), удовлетворяющей при t > 0 уравнению

и начальным условиям

где f(t, x), u0(x), u1(x) заданные функции.

37

Если выполняются условия

f C1(t ≥ 0), u0 C2(E1), u1 C1(E1), m = 1; f C2(t ≥ 0), u0 C3(Em), u1 C2(Em), m = 2, 3,

то решение задачи Коши (6.1)–(6.2) существует, единственно и выражается: формулой Даламбера

|ξ−x|<at

при m=3.

Замечание. Иногда для решения задач Коши с начальными данными специального вида удобнее использовать метод разделения переменных.

Пример 6.1. Решить задачу

utt = u + 3(xy2 − x2y + z2(x − y))t, u|t=0 = x2 − y2, ut|t=0 = sin x cos(y + 3z),

38

а v – решение задачи

vtt = v, v|t=0 = 0, vt|t=0 = sin x cos(y + 3z). (6.4)

Так как функции xy2 − x2y + z2(x − y) и x2 − y2 гармонические, то воспользуемся результатом задачи 6.2 (см. задания ниже)

t

w(t, x, y, z) = x2 − y2 + 6(xy2 − x2y + z2(x − y)) R (t − τ)τ dτ =

0

= x2 − y2 + t3(xy2 − x2y + z2(x − y)).

Решение задачи (6.4) будем искать в виде v(t, x, y, z) =

T (t)X(x)G(y, z). Тогда vt|t=0 = T 0(0)X(x)G(y, z) = sin x cos(y +3z). Следовательно, T 0(0) = 1, X(x) = sin x, G(y, z) = cos(y + 3z) и функция v имеет вид v(t, x, y, z) = T (t) sin x cos(y + 3z). Подставляя v в уравнение и рассматривая для v начальное условие при t = 0, получим, что T (t) является решением задачи Коши

vtt = a2 v; v|t=0 = 0, vt|t=0 = ϕ(x).

6.2. Доказать,что если функции h(x), u0(x), u1(x)− гармонические в Em, а g(t) C1(t ≥ 0),то решение задачи Коши utt = a2 u+g(t)h(x), u|t=0 = u0(x), ut|t=0 = u1(x) выражается формулой

Z t

u(t, x) = u0(x) + tu1(x) + h(x) (t − τ)g(τ)dτ.

0

Указание. Функция f(x) C2(Ω) называется гармонической в области Ω Em изменения аргумента x, если верно равенство u(x) = 0 для любого x Ω.

есть сумма решений одномерных задач, которые находятся по формуле Даламбера при f=0.

6.4. Показать, что если b(x1) C2(R1), а g(x2, x3)− гармоническая функция,то решение задачи Коши

utt = a2 u; u|t=0 = b(x1)g(x2, x3), ut|t=0 = 0

6.8. utt = uxx + sin x; u|t=0 = sin x, ut|t=0 = 0.

40