u_practice

6.9. utt = uxx + ex; u|t=0 = sin x, ut|t=0 = x + cos x.

Задания, помеченные символом ’*’, предназначены для самостоятельной работы и приведены без ответов.

6.27. Найти решение задачи Коши

utt = a24u + f(x), u|t=0 = u0(x), ut|t=0 = u1(x),

если 4N f = 0, 4N u0 = 0, 4N u1 = 0. Здесь 4N = 4 . . . 4.

| {z }

N

6.28. Убедиться в том, что если в задаче Коши

utt = a2uxx + f(t, x), −∞ < x < ∞, t > 0; u(0, x) = ut(0, x) = 0, , −∞ < x < ∞

функция f(t, x) относительно x нечетная, то u(t, 0) = 0, а если она четная, то ux(t, 0) = 0.

41

6.29. Для решения уравнения utt = −uxx построить решение u(t, x) задачи

Коши

u(0, x) = 0, ut(0, x) = sin(kx) k

и показать неустойчивость полученного решения (пример Адамара). 6.30. Показать, что общее решение уравнения utt = 4u, зависящее только от r и t, имеет вид

u(t, r) = (f(r + t) + g(r − t))/r, r 6= 0,

где f, g C2, r2 = x21 + x22 + x23. Эти решения называются сферическими волнами.

7. Задача Коши для уравнения теплопроводности

Задача нахождения функции u(t, x) C2(t > 0) ∩ C(t ≥ 0), удовлетворяющей при x Em, t > 0 уравнению

ut = a2 u + f(t, x)

и начальному условию

u(0, x) = u0(x),

где f(t, x) и u0(x) заданные функции, называется классической задачей Коши.

Если функция f(t, x) C2(t > 0) и все ее производные до второго порядка включительно ограничены в каждой полосе 0 ≤ t ≤ T , а функция u0(x) C(Em) и ограничена, то решение задачи Коши в классе функций u(t, x), ограниченных в каждой полосе 0 ≤ t ≤ T , существует, единственно и выражается формулой Пуассона

Замечание. При решении задачи Коши иногда удобнее пользоваться методом разделения переменных, а также результатами нижеприведенных задач.

Пример 7.1. Найти решение задачи Коши

ut(t, x) = a2uxx(t, x) + etchx, u(0, x) = chx.

42

Решение. Предположим, что функция u(t, x) представима в виде u(t, x) = T (t)X(x). Тогда из начального условия u(0, x) = T (0)X(x) = chx можно сделать предположение, что X(x) = chx, а T (0) = 1. Перепишем исходное уравнение:

T 0(t) · chx = a2T (t) · chx + etchx

или

T 0(t) = a2T (t) + et.

Решая задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения,

получим, что при a2 = 1 функция u(t, x) = (t + 1)etchx, а при a2 6= 1 функция u(t, x) = 1−1a2 (et − a2ea2t)chx.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что найденная функция является решением исходной задачи.

Задачи и упражнения

7.1. Пусть функция w(t, t0, x) принадлежит классу C2 при x Em, t ≥ t0 ≥ 0. Доказать,что функция w(t, t0, x) при каждом t0 ≥ 0 является решением

задачи Коши wt = a24w, w|t=t0 = f(t0, x) тогда и только тогда, когда

t

R

функция v(t, t0, x) = w(t, τ, x)dτ при каждом t0 ≥ 0 является решением

t0

задачи Коши vt = a24v + f(t, x), v|t=t0 = 0.

7.2. Показать, что если uk(t, xk) – решение задачи Коши

(uk)t = a24(uk), uk|t=0 = fk(xk), k = 1, m,

m

то функция u(t, x) = Q uk(t, xk) будет решением задачи Коши

k=1

m

Y

ut = a24u, u|t=0 = fk(xk).

k=1

7.3. Пусть функция f(t, x) C2(t ≥ t0) является гармонической по х при

43

7.9.4ut = uxx, u|t=0 = e2x−x2 .

7.10.ut = uxx, u|t=0 = xe−x2 .

7.11.4ut = uxx, u|t=0 = sin xe−x2 .

Задания, помеченные символом ’*’, предназначены для самостоятельной работы и приведены без ответов.

Решить задачи (m=3)

7.24. ut = 4u + cos(x − y + z), u(0, x) = e−(x+y−z)2 . 7.25. ut = 4u, u(0, x) = cos(xy) sin z.

8. Принцип максимума для уравнений параболического типа

44

причем коэффициенты aij, bi, c и правая часть f уравнения (8.1) вещественные, конечнозначные функции переменных t, x.

Считаем, что всюду ниже aij(t, x) = aji(t, x) и выполняется соотношение

Ниже будем рассматривать только классические решения уравнения (8.1).

Замечание. Легко видеть, что замена u = veαt, где α = const > 0, приводит к уравнению для v вида (8.1) с коэффициентом при v, равным c − α. Следовательно, если c ограниченная сверху функция (c < l, l = const > 0), то указанной заменой (если взять α > l) можно добиться того, что коэффициент при v в уравнении (8.1) станет строго отрицательным.

45

Пусть коэффициент c оператора L ограничен сверху некоторой постоян-

¯

ной l (c(t, x) < l (t, x) QT ). Тогда

≥ ¯ u(t, x) 0 в QT .

¯

Решение. Вначале рассмотрим случай, когда l < 0, т.е. c(t, x) < 0 в QT . Предположим, что условия теоремы 1 выполнены, но функция u принима-

получим противоречие). Так как u непрерывна в QT , то она достигает в QT

своего минимума, причем отрицательного, в некоторой точке (t0, x0). Ясно, что вследствие условия (8.4) точка (t0, x0) может лежать либо внутри обла-

Действительно (аналогичные рассуждения приведены в лекции 1), линей-

где матрицы A = kaijk, K = kkijk, D = kdijk связаны соотношением D = KAK , v(t, y) = u(t, K−1y), K матрица, сопряженная к матрице K. Легко видеть, что минимум функции v совпадает с минимумом функции u и достигается в точке (t0, y0), где y0 = Kx0. Из линейной алгебры известно, что невырожденное преобразование можно подобрать таким образом, чтобы матрица D была диагональной в точке (t0, x0). Кроме того, матрица D положительно определенная вследствие положительной определенности матрицы A (см. соотношение (8.2)). Значит,

46

так как dii > 0, а ∂2v/∂yi2 ≥ 0 в точке (t0, x0). Из соотношений (8.7), (8.8) следует неравенство (8.6). Из определения оператора L и соотношений (8.5), (8.6) в точке (t0, x0) получаем неравенство L(u(t0, x0)) > 0, что противоречит условию (8.3) и доказывает теорему 1 в случае c(t, x) < 0. В случае c(t, x) < l, l > 0 сделаем замену u(t, x) = v(t, x)elt. Функция v неотрицательна на T , удовлетворяет уравнению (8.1) с отрицательным коэффициентом при v (см. замечание 1) и неположительной правой частью. По дока-

¯ \

в QT T . Теорема 1 доказана.

Далее N, q неотрицательные постоянные, а c0 строго положительная постоянная.

Пример 8.2. Доказать теорему 2: Пусть функция u(t, x) непрерывна в

Решение. Функции w±(t, x) = Nt + q ± u(t, x) не отрицательны на T ,

L(w±) = −N + Nct + cq ± L(u) ≤ −N ± |f| ≤ 0.

¯

По теореме 1 обе функции w+ и w− не отрицательны в QT : (w±(t, x) = Nt+q±u(t, x) ≥ 0), откуда и следует неравенство (8.9). Теорема 2 доказана.

Пример 8.3. Доказать теорему 3:Пусть u(t, x) классическое решение

¯

в QT уравнения (1) и выполняются соотношения

¯

Тогда всюду в QT

¯

Решение. Рассмотрим в QT функции

w± = max{N/c0, q} ± u(t, x).

47

N N .

≥ ¯ \

По теореме 1 функции w±(t, x) 0 в QT T , откуда следует (8.10). Теорема 3 доказана.

Замечание. Для параболических систем уравнений принцип максимума может и не выполняться (определение таких систем см. в [13], [15]). Действительно, рассмотрим на интервале 0 < x < π сильно параболиче-

u(0, x) = 0, v(0, x) = sin x;

u(t, 0) = u(t, π) = 0, v(t, 0) = v(t, π) = 0.

Единственное решение этой первой начально–краевой задачи дается формулами

Здесь принцип максимума нарушается для компоненты u(t, x). Многочисленные приложения принципа максимума для параболических

уравнений имеются в монографии [16] (единственность решения нелинейных уравнений, положительные решения задачи Коши, теоремы сравнения решений), см. также [10].

Задачи и упражнения

8.1. Пусть выполнены условия теоремы 2 и f ≡ 0. Доказать, что всюду в

¯

QT

|u(t, x)| ≤ max |u(t, x)| = M.

T

Указание: рассмотреть функции w± = M ± u и повторить доказательство теоремы 2.

8.2. Пусть выполнены условия теоремы 2 и f ≡ c ≡ 0. Доказать, что всюду

48

8.4.Доказать теорему единственности классического решения первой краевой задачи для уравнения (8.1).

8.5.Доказать теорему о непрерывной зависимости классического решения первой краевой задачи для уравнения (8.1) от правой части f(t, x), начальной функции ϕ(x) и граничной функции ψ(t, x).

Указание: считать, что выполняется условие задачи 8.3.

8.6.Доказать теорему единственности классического решения первой краевой задачи для уравнения Бюргерса

¯

в предположении ограниченности в QT производной ∂u(t, x)/∂x.

8.7. Оценить в полосе {(t, x) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t < ∞} классическое решение u(t, x) первой краевой задачи

u(0, x) = x(1 − x), u(t, 0) = u(t, 1) = 0

для однородного уравнения Бюргерса (в случае f = 0).

Следует отметить, что неравенство (8.11) есть не что иное, как априор-

¯

ная оценка в классе C(QT ) классического решения первой краевой задачи. 8.8. Доказать, что для задачи в замечании 3 справедливо соотношение

Вывести отсюда теорему единственности решения.

8.9. Найти в области Q = {(t, x) | 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ t ≤ 2} минимальное и максимальное значения функции u(t, x), являющейся классическим решением краевой задачи

49

8.10. В области QT = {(t, x) | 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ π} доказать теорему единственности классического решения u(t, x) задачи

ut + u3 = uxx + sin x,

u(0, x) = sin2 x u(t, 0) = t3, u(t, π) = sin t.

8.11. Оценить в QT = {(t, x)|0 ≤ t ≤ 9, 0 ≤ x ≤ l} классическое решение задачи

ut + 7u = uxx,

u(0, x) = x2(x − l), u(t, 0) = 0, 01t2, u(t, l) = 2 lg (1 + t).

8.12. В области QT = {(t, x)|0 ≤ t ≤ 1, 0 ≤ x ≤ 2} определить знак выражения u(t, x) − w(t, x), если u(t, x) является классическим решением

задачи

ut = uxx + ux + x2,

u(0, x) = x2, u(t, 0) = t, u(t, 2) = 2t,

а функция w(t, x) является классическим решением задачи

wt = wxx + wx + x2,

w(0, x) = 5, w(t, 0) = 5, w(t, 2) = 5t.

9. Измеримые функции. Интеграл Лебега. Функциональные пространства

Определение 9.1. Вещественным линейным пространством называется множество F , для элементов которого определены операции сложения и умножения на вещественные числа, не выводящие из F и обладающие свойствами:

а) f1 + f2 = f2 + f1,

б) (f1 + f2) + f3 = f1 + (f2 + f3),

в) в F существует элемент o такой, что для любого f F имеет место равенство 0 · f = o,

г) (c1 + c2)f = c1f + c2f, д) c(f1 + f2) = cf1 + cf2, е) (c1c2)f = c1(c2f),

ж) 1 · f = f

для любых f1, f2, f F и любых вещественных чисел c, c1, c2. Определение 9.2. Линейное пространство F называется нормирован-

ным, если каждому его элементу f можно поставить в соответствие вещественное число kfk = kfkF (норма f), и это соответствие обладает следующими свойствами:

50