3.7 Подобие в общем случае

Пусть объекты описываются уравнениями (3.1) – (3.2): два объекта подобны, если

- они имеют сходственные математические описания:

(3.1)

, (3.2)

где ; y₁, y₂ и x_1i, x_2i – соответственно неизвестные и заданные функции независимых переменных t_1j и t_2j;

- сходственные переменные, содержащиеся в математических описаниях, связаны постоянными коэффициентами пропорциональности, которые называют масштабами (константами) подобия

. (3.3)

При этом остаются в силе и три необходимых условия подобия. Как и ранее, масштабные уравнения можно вывести двумя способами.

Способ подстановки [леб 2-4, 19] основан на преобразовании одного уравнения в другое. Если система уравнений (3.1) – (3.3) непротиворечива, то каждое сходственное уравнение можно решить двумя путями: прямым и косвенным (схемы на рис. 3.10, аналогичные рис. 3.9).

Рисунок 3.10 – Пути решения уравнений (3.1) и (3.2)

Прямой путь определения неизвестной функции (рис. 3.4а) заключается в непосредственном решении уравнения (3.1), косвенный – в замене переменных уравнения (3.2) переменными уравнения (3.1) согласно (3.3) и решении уравнения

(3.1*)

Зам переменных , , сходственными переменными , , выполняется согласно соотношениям (3.3). С помощью тех же масштабов , , осуществляется замена производных сходственных величин. Масштабы связывают все возможные значения , , и соответствующие им значения , , , в том числе и бесконечно малые приращения, т.е. дифференциалы

.

Для замены производной сходственной производной находим отношение

(3.34)

откуда

. (3.35)

Эти же выражения можно получить проще. Так как, , то

,

откуда

, (3.36)

что позволяет рассматривать операторы , как сходственные величины, связанные масштабами

.

В таком случае производную можно рассматривать как обычное произведение и заменять на и на раздельно с помощью масштабов и . При этом согласно (3.35) . Аналогично вторую производную можно заменять сходственной второй производной

и т.д. Все сказанное легко распространить на частные и смешанные производные.

Т.о., при замене переменных одного уравнения сходственными переменными другого в качестве переменных формально можно рассматривать любые операторы дифференцирования.

После замены переменных , , , переменными , , , уравнение (3.2) приводят к виду (3.1*), отличающееся от (3.1) только постоянными коэффициентами.

В случае подобия решения и уравнений (3.1) и (3.1*) тождественны .

Прямой путь определения неизвестной функции (рис. 3.4б) состоит в решении (3.2), косвенный – в замене переменных , , , уравнения (3.1) переменными , , , согласно (3.3), (3.36) и решении уравнения

(3.2*)

В случае подобия решения и уравнений (3.2) и (3.2*) тождественны: .

Пример. Даны сходственные уравнения

(3.37)

(3.38)

Три пары сходственных переменных связаны масштабами

.

Прямое решение уравнения (3.37) имеет вид

.

Заменой переменных в (3.38) , , переменными , , находим косвенное решение уравнения (3.37) как решение уравнения

(3.37*)

в виде

.

Для тождественности решений и необходимо выполнение условий

или

(3.39)

которые в данном случае представляют собой масштабные уравнения. Масштаб определяется однозначно. Один из масштабов можно выбрать произвольно.

Для выполнения условия можно не прибегать к аналитическому решению уравнений (3.1) и (3.1*), что не всегда возможно. для этого достаточно сделать уравнения (3.1) и (3.1*) равносильными, приравняв их сходственные коэффициенты. Однако в общем случае эти коэффициенты обладают различными размерностями. Поэтому необходимо предварительно преобразовать (рис. 3.4а) уравнение (3.1*) в уравнение

(3.1**)

так, чтобы размерности сходственных коэффициентов (3.1**) и (3.1) были одинаковы: [] = []. Условия равенства получаются в виде = .

Пример. Для вывода условий равенства уравнения (3.37) в предыдущем примере умножим уравнение (3.37*) на :

.

Размерности сходственных коэффициентов (3.37) и (3.37*) равны. Для тождественности решений и необходимо выполнить условия

равносильные условиям (3.39).

Если в частном случае, размерности сходственных коэффициентов уравнений (3.37) и (3.37*) одинаковы, то приравнивая их, получаем

.

Такая система уравнений определяет все три масштаба однозначно.

Пример. Даны сходственные уравнения

(3.40)

(3.41)

где

Масштабы равны

.

Замена переменных в (3.41) дает

(3.40*)

Так как сходственные постоянные коэффициенты в (3.40) и (3.40*) в общем случае различны по размерностям, то, умножив (3.40*) на , получим

(3.40**)

Размерности сходственных постоянных коэффициентов уравнений (3.40) и (3.40**) одинаковы. Приравняв сходственные коэффициенты, получим систему масштабных уравнений

(3.42)

Масштаб определяется однозначно. Один из двух других масштабов или может быть выбран произвольно, если два последних уравнения совместны.

Переход от (3.40*) к (3.40**) означает приведение размерностей членов (3.40*) к размерностям членов (3.40). Уравнение размерностей может быть получено не только таким способом, но и, например, умножением (3.40*) на . При этом

(3.40***)

Приравняв сходственные коэффициенты уравнений (3.40***) и (3.40), получим систему масштабных уравнений

(3.43)

отличную от системы (3.42), но легко преобразуемую в нее. Системы (3.42) и (3.43) равносильны.

Совершенно аналогично получают масштабные уравнения из условий тождественности (3.2) и (3.2*).

Таким образом, сущность способа подстановки состоит:

- замена переменных в одном из сходственных уравнений сходственными переменными второго уравнения с помощью масштабов;

- обеспечение тождественности промежуточного уравнения и второго сходственного уравнения;

- получение масштабных уравнений, как условия тождественности указанных двух уравнений.

Способ критериев подобия основан на представлении уравнений в безразмерной форме. Сходственные функции уравнений (3.1) и (3.2) представляются произведениями размерных степенных комплексов и безразмерных функций

После сокращения степенных комплексов уравнения (3.1) и (3.2) оказываются в безразмерной форме

(3.1б)

(3.2б)

где [] = 1. Под знаками безразмерных функций величины и объединяются в безразмерные степенные комплексы – критерии подобия (см. выше)

(3.44)

. (3.45)

Следует учесть, что это сокращенная запись критериев подобия. В развернутом виде выражение r-критериев подобия более сложное

причем в общем случае постоянный множитель – степенной комплекс, образованный постоянными коэффициентами . При этом функции уравнений (3.1б) и (3.2б) представляются функциями критериев подобия и

В результате безразмерные уравнения (3.1б) и (3.2б) принимают критериальную форму

(3.1к)

(3.2к)

Заменив, согласно первому способу вывода масштабных уравнений переменные в скрытом виде содержащиеся в (3.1к), переменными , получим

Подставив это выражение в (3.1к), имеем

(3.2к*)

В соответствии с первым способом, уравнения (3.2к) и (3.2к*) должны быть тождественны. Для этого необходимо выполнение условия

(3.46)

представляющего масштабное уравнение в общем виде.

На основании (3.3), (3.46) получаем

(3.47)

Таким образом, в случае подобия уравнений (3.1) и (3.2) соответствующие им сходственные критерии подобия должны быть равны

(3.48)

Пример. Пусть заданы уравнения (3.37), (3.38).

(3.37)

(3.38)

В безразмерной форме они имеют вид

а в критериальной

где

Масштабные уравнения

,

тождественны (3.39)

Таким образом, сущность способа критериев подобия состоит в следующем:

- сходственным уравнениям придается безразмерная форма;

- определяются критерии подобия;

- масштабные уравнения получаются приравниванием единице отношений сходственных критериев. Формы масштабных уравнений аналогичны формам соответствующих критериев подобия.

Способ подстановки отличается естественностью и наглядностью, но несколько сложен. Способ критериев подобия носит более формальный характер, но значительно проще в практическом применении.