Математика / Элементы линейной алгебры

1.

Найти обратную матрицу

A 1 , если

4

3

A

.

3

2

2.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

4x1 4x2 x3 8,

2x2

2x3 4,

2x1

4x

3x

2

3x 8.

1

3

3. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой

находятся в точках A 2; 0; 4 , B 0;3; 7 ,

C 0; 0; 6 , D 4;3;5 .

б) 0; в) 2 ; г) . 7. а)

0; б) e2 . 8. x 0 точка максимума,

ymax 2,

x 2 точкаминимума,

ymin 2 .

2

1

3

1. Дана матрица

7

3

10

. Сумма элементов a21

и a32

A

6

20

15

равна:

а) 13;

б) 11;

в) 8;

1

г) 16;

д) 18.

2. Даны матрицы

A 2

3

. Сумма A B равна:

и B

2

а) 3

5 ;

3

д)

3

4

б)

;

в) не существует;

г) (8);

.

5

2

2

1

3. Даныматрицы

A 2

3 и B

. Произведение A B равно:

2

2

2

3

а) 2

6 ;

д)

б)

;

в) не существует;

г) (8);

.

6

4

6

2

3

4. Транспонированной к матрице

является матрица:

4

6

1

1

0,2

0,3

3

2

2

3

2

4

2

3

а)

0,4

0,6

;

б)

6

4

;

в)

6

;

г)

;

д)

3

6

.

4

1

1

6

2

3

4

5. Определитель

равен:

1

6

а) –9;

б) 15;

в) 12;

г) 9;

д) 0.

6. Если A 1 является обратной к матрице A , то:

а) A 1 A 0 ;

б) A 1 A E ;

в) A 1 E ;

г) AE A 1

д) A 1 A 0.

а) (6; 2);

б) (–2; –2);

в) (2; 2);

г) (2; –2);

д) (3; 1).

9. Модуль вектора a(3; 4) равен

а) 7;

б) 25;

в) 1;

г) 5;

д) 3,5.

10. Вектор a(1;2) коллинеарен вектору b( 2; ) , если:

а) 4;

б) 0 ;

в) 2;

г) 1;

д) 2 .

11. Если вектор a ортогонален вектору b , то:

а) a b 0;

б) a b 0 ;

в) a b 0 ;

г) a b 0 ;

д) a b 1.

12. Среди приведенных ниже уравнений выбрать уравнения

плоскости:

а) A x x0 B y y0 C z z0 0 ;

б)

x x0

y y0

z z0

;

m

n

p

в)

x x1

y y1

z z1

0;

x2 x1

y2 y1

z2 z1

x3 x1

y3 y1

z3 z1

г)

x

y

z

1;

a

c

b

д) y y0 k x x0 .

x 13

y 1

z 9

13. Направляющим вектором прямой

явля-

5

9

2

б)

x 1

y 2

;

3 1

4 2

в)

x 1

y 2

;

3 1

4 2

г) 3(x 1) 4( y 2) 0 ;

д)

y 1

x 2

.

3 1

4 2

параллельна прямой y kx 4 , если:

15. Прямая y 2x 3

а) k 4 ;

б) k 0;

в) k 2 ;

г) k 1/ 2;

д) k 2 .

16. Прямая y 3x 3

перпендикулярна прямой y kx 2 , если:

а) k 1;

б) k 0,3 ;

в) k 1/ 3 ;

г) k 1/ 3;

д) k 2 .

17. Первый замечательный предел имеет вид:

а)

lim

sin x

0 ;

г) lim sin x

1;

x

x

x 0

x

б)

lim sin x

1;

д) lim sin x

0 .

x

x

x 1

x

в)

lim sin x

0 ;

x 1

x

18. Второй замечательный предел имеет вид:

а)

lim

1

x

e

x

;

г)

lim 1 x x

e ;

1

x

x

x

б)

lim

1

x

e;

д)

lim

1

1 x

1

x

1

x

e .

x

x

в) lim 1 x 1 x

e ;

x 0

19. Отметить верные утверждения:

а) lim

x

1;

г) lim arcsin x 1;

x 0 sin x

x 0

x

б)

lim sin x

1;

д)

lim ctg x

1.

x

x

x 0

x

в) lim ln(1 x) 1;

x 0

x

20. Бесконечно малые при x a функции (x)

и (x) называ-

ются эквивалентными, если:

(x)

а)

lim

(x) (x) 1;

г)

lim

;

x a

x

x a

(x)

б)

lim

(x)

0 ;

д) lim

(x)

1.

x a

(x)

x a

(x)

в)

lim

(x)

a ;

x 0

(x)

а) tg x ~ x ;

x2

г) 1 cos 2x ~ 2 ;

x

x

б) sin

~

;

д) ln(1 2x) ~ 2x .

2

2

u v v u ;

а) uv

г) uv

u v ;

u v ;

б) uv

д) uv

u v uv .

u v v u

;

в) uv

v2

u

23. Производная частного

вычисляется по формуле:

v

а) u

г) u

u

u v v u ;

;

v 2

v

v

б) u

д) u

u v ;

u v uv .

v

v

v

в) u

u v v u

;

v

v2

24.

Если функция y f (x) не убывает на интервале (a;b) , то на

этом интервале:

а) f (x) 0 ;

б) f (x) 0 ;

в) f (x) 0 ;

г) f (x) 0 ;

д) f (x) 0 .

25.

Если при переходе через точку x x0 производная f (x) ме-

СОДЕРЖАНИЕ

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ...............................................

3

1.1. Матрицы. Действия над матрицами .........................................

3

1.2. Определители. Вычисление определителей.............................

4

1.3. Обратная матрица.......................................................................

6

1.4. Решение систем линейных уравнений......................................

8

2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ..................................................

11

2.1. Векторы.....................................................................................

11

2.2. Различные виды уравнений плоскости...................................

17

2.3. Различные виды уравнений прямой в пространстве.............

19

2.4. Прямая на плоскости................................................................

20

3. ПРЕДЕЛЫ............................................................................................

22

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ........................................................................

33

4.1. Таблица производных. Правила дифференцирования.........

33

4.2. Правило Лопиталя....................................................................

37

4.3. Приложение производной к исследованию функций...........

39

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ ................

42

ВАРИАНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ...............

52

ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................

56