Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гомельский Государственный Технический Университет им. П.О. Сухого

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика / Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

722.54 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Пример 1.7. Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

x1 2x2 5x3 2,
	3x1	x2		x3 4,

2x		x	2	6x 3.
	1			3

Решение. Осуществим эквивалентные преобразования строк расширенной матрицы системы, чтобы привести ее к треугольному виду:

1		2	5	2			1 2			5	2		1 2			5	2

	3	1	1	4				0	5	16	10			0	5	16	10
					II 3 I		~						~					.
						I
	2	1	6	3	III 2			0	5	16	7	III II		0	0	0	3

Получили уравнение 0 3 , значит система несовместна.

2.ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

2.1. Векторы

Вектором называется направленный отрезок, который обозна-

чается a . Вектор характеризуется направлением, координатами и модулем (длиной).

Если начало вектора находится в точке A(xA; yA; zA ) , конец в точке B (xB ; yB ; zB ), то координаты вектора определяются по формуле

a (x; y; z) (xB xA; yB yA; zB zA ).

(2.1)

Модуль вектора определяется по формуле

		x2 y2 z2 .	(2.2)
a

Над векторами a (x1; y1; z1) и b (x2 ; y2 ; z2 ) можно совершать следующие линейные операции:

–сложение (вычитание) a b (x1 x2 ; y1 y2 ; z1 z2 ) ;

–умножение вектора на число ca (cx1; cy1; cz1) , где c – некоторое число.

Скалярным произведением двух векторов a и b называется число, равное

a b	a		b	cos .	(2.3)

Если заданы координаты векторов a x1; y1; z1 и b x2 ; y2 ; z2 , то

a b x1x2 y1 y2 z1z2 .

(2.4)

Свойства скалярного произведения:

1)a b b a ;

2)( a)b (a b);

3)a(b c) a b a c.

Косинус угла между векторами a (x1; y1; z1) и b (x2 ; y2 ; z2 ) определяется формулой

cos		x1x2 y1 y2 z1z2					.	(2.5)
cos	x2	y2	z2	x2	y2	z2	.	(2.5)
	1	1	1	2	2	2

Ортогональными называются вектора, лежащие на перпендикулярных прямых.

Критерий ортогональности: два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: a b 0 .

Упорядоченная тройка векторов a , b , c с общим началом в точке O называется правой, если кратчайший поворот от вектора a к

вектору b наблюдается с конца вектора c происходящим против хода часовой стрелки (рис. 2.1).

b a

Рис. 2.1

Векторным произведением векторов a и b называется вектор c,

обозначаемый c a b , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1) c	a		b	sin ;	(2.6)

2)c a и c b ;

3)тройка векторов a , b , c – правая.

Еслизаданыкоординатывекторов a (x1; y1; z1) и b (x2 ; y2 ; z2 ) , то

a b

;

(2.7)

Свойства векторного произведения:

1)a b b a ;

2)( a) b (a b) a ( b) , где – некоторое число;

3)a (b c) a b a c .

Коллинеарными называются вектора, которые лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Критерий коллинеарности: два вектора коллинеарны тогда и

только тогда, когда их векторное произведение равно нулю: a b 0. Геометрический смысл векторного произведения: площадь па-

раллелограмма, построенного на векторах a и b , равна модулю векторного произведения этих векторов:

	S	a b	.			(2.8)
Смешанным произведением векторов a , b , c называется число
a b c . Если	заданы координаты векторов a x1; y1; z1 , b x2 ; y2 ; z2
и с x3 , y3 , z3 , то
		x1	y1	z1	.	(2.9)
		x1	y1	z1
	(a b) c	x2	y2	z2
		x3	y3	z3

Свойства смешанного произведения:

1)(a b) c a (b c) ;

2)abc bca cab bac cba acb ;

3) если abc 0 , то тройка векторов a , b , c правая, если abc 0 – левая.

Компланарными называются вектора, лежащие на параллельных плоскостях или на одной плоскости.

Критерий компланарности: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю:

(a b) c 0 .

Геометрический смысл смешанного произведения: объем па-

раллелепипеда, построенного на векторах a , b , c, равен модулю смешанного произведения этих векторов:

V	a b c	.	(2.10)
V	a b c	.	(2.10)

Пример 2.1. Даны две точки A 3; 4; 7 , B 5; 6;8 . Найти коор-

динаты вектора AB и координаты точки E – середины отрезка AB . Решение. По формуле (2.1) получаем:

AB 5 3; 6 4 ; 8 7 2; 2;1 .			Пусть	E x; y; z , тогда
x 5 3 4 ,	y 6 4 5,	z 7 8 7,5. Таким образом, ко-
2	2	2
ординаты точки E 4; 5; 7,5 .						b 7; 11;8 .
Пример 2.2. Даны два вектора a (8; 7; 2) ,						b 7; 11;8 .
Найти угол между ними.
Решение. По формуле (2.5) получаем:
cos	8 7 ( 7) ( 11) ( 2) 8					117		2	,
cos	82 ( 7)2 ( 2)2	72 ( 11)2 82			117		2	2	,
	82 ( 7)2 ( 2)2	72 ( 11)2 82			117		2	2
тогда = 45°.			a 2; 4; 6 ,				b 3;3;1
Пример 2.3. Доказать, что		векторы	a 2; 4; 6 ,				b 3;3;1
ортогональны.

Решение. По формуле (2.4) находим:

a b 2 3 4 3 6 1 0 . Согласно критерию ортогональности векторы a и b ортогональны.

Пример 2.4. Даны два вектора a 5;3; 4 , b 6; 7; 8 . Найти

векторное произведение a b.

Решение. По формуле (2.7) получаем:

a b	i	j	k				3		4		i		5 4					j			5 3			k 4 i 16 j 17 k .
	i	j	k
	5	3 4
	6	7		8			7		8				6	8							6	7
	6	7		8		b 4;16;17 .
				a
Следовательно,				a
Пример			2.5.					Вершины						треугольника										находятся		в	точках
A 1; 1; 3 ,		B 3; 1; 6 ,						C 5; 1; 3					. Вычислить площадь треугольника.
Решение. Используя формулу (2.1), находим координаты векто-
ров AB и AC :								AC 4; 0; 6 . Далее, по формуле (2.7) опреде-
AB 2; 2;3 ,								AC 4; 0; 6 . Далее, по формуле (2.7) опреде-
лим AB AC :						2			3			2		3					2	2
AB AC										;						;							12; 24;8 .


					0			6				4		6					4	0
					0			6				4		6					4	0
Тогда S				1		AB AC					1		122 242							82				1	784 1	28 14 .
Тогда S				1		AB AC					1		122 242							82				1	784 1	28 14 .
				2							2													2	2		векторы
				2							2													2	2
Пример 2.6. Вычислить, при каких значениях и
a i 7		j 3k		и b i j 2k										коллинеарны.
Решение. Соответствующие координаты коллинеарных векто-
ров пропорциональны,									т.		е.				7		3 ,				откуда				находим		3 и
													1				2										2

143 .

Пример 2.7. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах a 2;1;3 , b 1;3;1 , c 3;1; 2 .

Решение. По формуле (2.10) V abc . Используя формулу (2.9), найдем abc :

abc	2	1	3	13. Следовательно, V	13	13 .

	1	3	1

	3	1	2	Доказать, что векторы a 1; 2;3 ,			b 4; 5; 6 ,
Пример 2.8.

c 5; 7;9 компланарны.

Решение. Проверим выполнение условия компланарности. Так

как abc	1	2	3	0 , то можно утверждать,					что данные векторы
	1	2	3
	4	5	6
	5	7	9
компланарны	.
Пример 2.9. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины
которой находятся в точках A 6;1; 4 , B 1; 3; 7 , C 7;1;3 , D 2; 2; 5 .
Решение. Используя формулу (2.1), найдем координаты векто-
ров, на которых построена пирамида:
AB 5; 4;3 , AC 4; 3; 9 , AD 1; 0; 1 .
V		1 V			1	5	4	3	23 .
						5	4	3
						4	3	9
пирамиды		6	параллелепипеда		6	1	0	1	3
						1	0	1	A 1; 2; 1 , B 4;1;5 ,
Пример 2.10. Выяснить,					лежат ли точки				A 1; 2; 1 , B 4;1;5 ,

C 1; 2;1 , D 6;1;3 в одной плоскости.

Решение. Используя формулу (2.1), найдем координаты векторов:

AB 3; 1; 6 ,		AC 2; 0; 2 ,			AD 5; 1; 4 . Теперь проверим вы-
полнение		критерия			компланарности.	Так	как
AB AC AD	3	1	6	0 , то векторы компланарны, а значит, точки

	2	0	2
	5	1	4

A, B, C, D лежат в одной плоскости.

Пример 2.11. Выяснить, правой или левой будет тройка векто-

ров a 3; 4; 0 , b 0; 4;1 , c 0; 2;5 .

Решение. Воспользуемся формулой (2.9):

abc	3	4	0	66 .
	3	4	0
	0	4	1
	0	2	5

Согласно свойствам смешанного произведения знак «–» указывает на то, что вектора a , b , c образуют левую тройку.

2.2. Различные виды уравнений плоскости

Вектор n ( A; B;C), перпендикулярный плоскости, называется

ее нормальным вектором и определяет ориентацию плоскости в пространстве относительно системы координат.

Виды уравнений плоскости:

1) уравнение плоскости по точке M0 x0 ; y0 ; z0 , лежащей в

плоскости, и вектору нормали n ( A; B;C) :
	A x x0 B y y0 C z z0 0 ;					(2.11)
2)	общее уравнение плоскости:
	Ax By Cz D 0 ;					(2.12)
3)	уравнение плоскости в «отрезках»:
		x	y	z	1,	(2.13)
		a	b
				c

где a, b, c – отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат;

4) уравнение плоскости по трем точкам M1 x1; y1; z1 , M 2 x2 ; y2 ; z2 , M3 x3; y3; z3 , лежащим в плоскости:

x x1 x2 x1 x3 x1

y y1		z z1		0.	(2.14)
y y1		z z1
y2	y1	z2	z1
y3	y1	z3	z1

Косинус угла между двумя плоскостями определяется как косинус угла между нормальными векторами этих плоскостей n1 ( A1; B1;C1 ) и n2 ( A2 ; B2 ;C2 ) :

cos

n1 n2

A1 A2 B1B2 C1C2

(2.15)

A12 B12 C12

A22 B22

C22

Расстояние

d от

точки

M0 x0 ; y0 ; z0

до

плоскости

Ax By Cz D 0 вычисляется по формуле

Ax0 By0

Cz0 D

(2.16)

A2 B2 C2

Пример 2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M0 2; 3; 2 перпендикулярно к вектору n 5; 4; 2 .

Решение. Запишем уравнение плоскости, воспользовавшись формулой (2.11): 5 x 2 4 y 3 2 z 2 0.

Раскрыв скобки, получим: 5x 4 y 2z 2 0 .

Пример 2.13. Составить уравнение плоскости, проходящей че-

рез начало координат и точки с координатами 2; 1; 4 и

3; 2;5 .

Решение.

По условию плоскость проходит через

три точки

M1 0; 0; 0 , M2 2; 1;

4 , M3 3; 2;

5 . Воспользуемся формулой (2.14):

x 0

y 0

z 0

y z

3x 22 y 7z .

2 0

1 0

4 0

3 0

2 0

5 0

Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид:3x 22 y 7z 0 .

Пример 2.14. Составить уравнение плоскости, проходящей че-

рез точку M0 5;3; 2 и параллельной двум					векторам	a 4; 1; 2 и
b 5; 3; 1 .
Решение. Координаты вектора нормали найдем как векторное
произведение a и b по формуле (2.7):
	i	j	k
	i	j	k
a b	4	1	2	5i 6 j 7k .
	5	3	1

Теперь	по		формуле (2.11) составим		уравнение	плоскости:
5 x 5 6	y 3 7 z 2 0.

Окончательно имеем: 5x 6 y 7z 7 0 .

Пример 2.15. Найти угол между плоскостями x 2 y 2z 3 0

и x z 5 0 .

Решение. Нормальные вектора исходных плоскостей n1(1; 2;3)


и n2 (1; 0;1) . Воспользуемся формулой (2.15):
cos	11 ( 2) 0 3 1					4	2 7 .
cos	12 ( 2)2		32 12 02		12	28	2 7 .
	12 ( 2)2		32 12 02		12	28	7
Тогда arccos		2	7	.
Тогда arccos				.
	7

Пример 2.16. Найти расстояние от точки		A 3;1; 2 до плоско-
сти 6x 3y 6z 7 0 .
Решение. По формуле (2.16) имеем:
d	6 3 3 1 6 2 7		26 .


	36 9 36
	36 9 36		9

2.3. Различные виды уравнений прямой в пространстве

Вектор s(m; n; p), параллельный данной прямой, называется ее

направляющим вектором.

Виды уравнений прямой в пространстве:

1) каноническое уравнение прямой (по точке направляющему векторуs(m; n; p):

x x0	y y0	z z0	;
m	n	p

2) параметрические уравнения прямой:

x x0 mt

y y0 ntz z0 pt;

M0 x0 ; y0 ; z0 и

(2.17)

(2.18)

3)уравнение прямой, проходящей через две точки M1 x1; y1; z1

иM2 x2 ; y2 ; z2 :

x x1			y y1			z z1			;	(2.19)

x	2	x	y	2	y	z	2	z
		1			1			1

4) общее уравнение прямой (прямая является результатом пересечения двух плоскостей):

A1x B1 y C1z D1 0					(2.20)
A x B y C			z D	0.	(2.20)
2	2	2	2

Решая эту систему, можно найти координаты точки M0 x0 ; y0 ; z0 ,

лежащей на этой прямой, а координаты направляющего вектора вычислитьпоформуле

	i	j	k
s n1 n2	A1	B1	C1	.	(2.21)
	A2	B2	C2

Косинус угла между двумя прямыми в пространстве определяется как косинус угла между их направляющими векторами.

Пример 2.17. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки M1 3; 2;5 и M 2 6;1; 7 .

Направляющим вектором прямой выберем вектор

x 3 3t

M1M2 3;3; 2 . Следовательно, по формуле (2.18): y 2 3t

z 5 2t.

	Пример		2.18.			Определить угол между				прямыми
x 5		y 3	z 4	и	x		y 2	z 3	.
2					1		1
	1		2					4		2;1; 2 и
	Решение. Направляющие вектора исходных прямых s1

s2 1; 1; 4 . Косинус угла между двумя прямыми в пространстве опре-

деляется как косинус угла между их направляющими векторами. Следовательно, по формуле (2.5):

cos	2 1 1 1 2 4	7	7 6 .
	4 1 4 1 1 4	9 6
			54

Тогда arccos 7546 .

2.4. Прямая на плоскости
Различные виды уравнений прямой на плоскости:
1) общее уравнение прямой:
Ax By C 0 ;	(2.22)

2) уравнение по точке M0 x0 ; y0 и угловому коэффициенту k, где k tg ( – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox ):

y y0

k x x0 ;

(2.23)

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Математика

#
15.04.2015729.81 Кб154015.pdf
#
15.04.2015587.09 Кб284020.pdf
#
15.04.201541.47 Кб7Вопросы_Черн_ЗО_1сем.doc
#
15.04.2015762.37 Кб12Задания_Чернич_ДО_ЗО_1сем.doc
#
15.04.20155.56 Mб21Пределы.pdf
#
15.04.2015722.54 Кб17Элементы линейной алгебры.pdf