Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика / Элементы линейной алгебры

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
722.54 Кб
Скачать

Точка, отделяющая промежутки выпуклости и вогнутости кривой друг от друга, называется точкой перегиба.

Достаточное условие существования точки перегиба: если при x x0 вторая производная функции f (x) не существует или равна

нулю и при переходе через x x0 вторая производная f (x) меняет знак, то точка с абсциссой x0 есть точка перегиба графика функции f (x) .

Пример 4.8. Найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции y x6 6x5 7,5x4 3x .

Решение. Найдем вторую производную заданной функции:

y x6 6x5 7,5x4

 

 

6x5 30x4

30x3

 

 

3x

3

30x4 120x3 90x2

30x2 x 1 x 3 .

 

 

 

Вторая производная обращается в ноль в точках x1 0 , x2 1 и x3 3. Все эти точки принадлежат области определения функции, f (0) 0 , f (1) 5,5, f (3) 112,5. Исследуем знак второй производной:

знак y

+

 

+

+

y

 

0

1

 

3

Отсюда заключаем, что график функции является выпуклым на интервале (1; 3), вогнутым на интервалах ; 0 , (0; 1) и 3; .

Точки (1; 5,5) и (3; 112,5) являются точками перегиба. Точка (0; 0) не является точкой перегиба.

41

ВАРИАНТЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Найти

значение

многочлена

f ( A) , если

f (x) x2 2x 1,

A

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

 

 

 

 

2x1 x2 3x3 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 3x2 x3

11,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2x

2

2x

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A 1; 2; 1 ,

 

 

B 2;1;5 ,

C 1; 2;1 ,

 

 

3.

Выяснить,

лежат

ли точки

 

 

D 6;1;3 в одной плоскости.

точки A 7; 3; 0

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти

 

расстояние от

 

до

плоскости

5x 3y 2z 13 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

 

 

 

n 1 !

 

 

 

 

 

;

 

 

 

б) lim

 

 

9 2x 5

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 7x 8

 

 

 

 

 

 

n n! n 1 !

 

 

 

 

x 8

 

 

 

 

 

в) lim

 

 

2x sin x

 

 

;

 

 

 

 

г) lim(2x 1)4 x 2 1 .

 

 

 

 

1 cos 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Вычислить производную y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

x

б) y x2 ln2 x ;

 

 

 

 

 

а) y 3 3x 2

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

 

 

x2

 

 

г) y sin x arcsin x .

 

 

 

 

 

 

 

y cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

1

2 ln x

.

 

 

 

 

 

а)

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

б) lim x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти точки экстремума функции y 2x2

ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

39

 

 

 

2

 

 

 

Ответы:

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. 2. (1; 3; –1). 3. Нет. 4.

 

 

 

. 5. а) –1; б)

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

в) 1

; г) e4. 7. а) ln

3

; б) e3

. 8. x

1 точка минимума,

ymin 1 ln 2 .

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

42

Вариант 2

 

1. Вычислить AT B 3C , если

 

2

3

 

,

3

2

0

 

,

 

A

 

 

 

B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

4

1

 

 

 

1

2

0

 

 

 

 

1

 

 

C

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

2x1 x2 2x3 3,x1 x2 2x3 4,4x1 x2 4x3 3.

3. Проверить, будут ли векторы a 3; 2;5 , b 3; 2;1 орто-

гональны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить

уравнение плоскости,

проходящей через

точку

M0 3; 3; 7

и

параллельной

двум векторам:

a 4;3; 2 и

b 2; 3;5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Вычислить пределы:

 

 

n3 2

n3 n 1 ;

а)

lim

3x3 6x

1

;

 

 

б)

lim

 

7x3 2x

 

 

 

n

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim ln(1 6x) ;

 

 

 

г)

lim

2x2 7x 4 .

 

 

x 0

 

sin 7x

 

 

 

 

 

x 4

x3 64

 

 

6. Вычислить производную y

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

x

 

y sin4 (3x 1) ;

 

 

а)

y 2x4 3x3 x

;

б)

 

 

 

 

 

в)

y e3x tg 4x;

 

x4

 

y sin x

x .

 

 

 

 

 

г)

 

 

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

 

а)

lim

ln(x 5)

;

 

 

 

б)

lim x 1 x 1 .

 

 

 

x

 

3 x 3

 

 

 

 

 

x 1 0

 

 

 

8. Найти точки экстремума функции y 3

x2 1 2 .

 

 

Ответы:

10

 

6

1

 

 

 

 

 

 

1.

 

 

 

. 2. (1; –3; –1). 3. Нет. 4. 9x 16 y 6z 33 0 .

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

11

 

 

 

 

 

 

5. а) 3/7; б) 0; в) 6/7; г) 3/16. 7. а) 0; б) 1. 8. x 0 точка максимума,

x 1 и

x 1 точкиминимума,

ymax 1, ymin 0 .

 

 

 

 

 

43

Вариант 3

 

1. Найти значение многочлена

f ( A) , если f (x) x2 3x 2 ,

 

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной мат-

рицы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 x2

x3

12,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x3 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x1 2x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x3 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x1 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Даны два вектора a 1; 3; 5 , b 4; 7; 8 . Найти коорди-

наты векторного произведения a b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Составить

уравнение плоскости,

проходящей

через точку

M0 2; 7; 0 перпендикулярно к вектору n 3; 1; 4 .

 

 

 

 

5. Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

n 1 3 n 1 3

б)

 

5n

3

2n 5

 

 

2n2 4

 

 

;

lim

5n

 

 

 

;

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

3

 

 

в)

lim

 

x3

3x2 x 3

;

г)

lim

 

e3x

1

.

 

 

3x2

 

2x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

x 0 arcsin 2x

 

 

6. Вычислить производную y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y

2x 3 ln 2x 3 ;

б)

y arcsin2

 

x ;

 

в) xy e

2

 

;

 

 

 

 

x 2 cos

2

t

 

 

2 x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 3sin2 t.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

а)

lim x2 e 0,01x ;

 

 

 

б)

lim x1 x .

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

8.Найти промежутки монотонности функции y x3 4 .

x2

Ответы: 1.

6

0

 

 

. 2.

(0;

–7;

5). 3. (–11;

–28;

–19).

 

 

 

 

 

 

 

0

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e12 5 ;

 

 

 

 

4. 3x y 4z 1 0 .

5.

а)

3;

б)

в)

2; г) 3/2. 7.

а) 0;

б) 1.

8. Возрастает на ( ; 0) и (2; ) , убывает на (0; 2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

44

 

 

 

 

Вариант 4

1. Найти обратную матрицу

A 1 , если

 

1

2

 

A

 

 

.

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

3x1 3x2 2x3 9,

 

 

5x2

4x3 12,

2x1

 

x1

3x2

x3 5.

 

3.Найти угол между векторами a 3;1;1 и b 1;1;5 .

4.Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

A 2; 1; 4 , B 3; 2; 5 , C 0; 1;3 .

5.Вычислить пределы:

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 3x 1

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

б)

lim

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

1

;

 

 

2x

 

 

 

 

 

x x

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

 

 

в)

lim

n2 1

n ;

 

 

г)

lim

 

 

2x 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 arctg (x 2)

 

 

 

 

6. Вычислить производную y

:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

4

 

 

x

б)

y cos 2x ln x ;

 

 

 

 

а)

y

 

 

 

 

 

 

 

35

x2 ;

 

 

 

 

 

2x2

 

x 1

 

 

 

 

 

5t

 

 

 

 

 

 

в) y tg

5

(2

3x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

x te

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5t 1 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

 

 

 

а)

lim

1 2 sin x

;

 

 

б)

lim sin x x .

 

 

 

 

 

x 6

 

cos 3x

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти

 

 

 

наибольшее и

наименьшее

значения

функции

y x4 2x2 5

на отрезке 2; 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 7

2 7

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

Ответы:

 

1.

 

 

 

2 7

.

2. (–1;

–2;

 

0).

3. arccos

 

 

.

 

 

 

 

11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. x 7 y 12z 43 0 .

5. а) –1; б)

0; в) ; г) 2.

 

7. а)

3 3;

б) 1.

8. fнаиб f (2) f ( 2) 13,

fнаим

f

(1) f ( 1) 4 .

 

 

 

 

 

 

 

45

 

 

 

 

 

 

Вариант 5

 

 

1. Найти значение многочлена f ( A) , если

f (x) 3x2 4x 1,

 

0

2

 

 

 

 

A

 

 

.

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

 

8x1 3x2

6x3

4,

 

 

 

x1 x2 x3 2,

 

 

 

 

 

 

4x

x

2

3x

5.

 

 

 

1

 

3

 

точках A 1;1; 3 ,

 

3.

Вершины

треугольника находятся в

B 5;1; 4 , C 3; 1; 2 . Вычислить его площадь.

4. Составить уравнение прямой, параллельной вектору s 2;5

ипроходящей через точку M0 3; 5 .

5.Вычислить пределы:

а)

lim

3 n 2

3 n 2

;

б)

lim

 

 

x 2 2x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 8

 

 

 

 

 

 

n 3 n 2 3 n 2

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

3x 1

 

 

 

г)

lim

 

 

ex e3x

 

.

 

 

 

 

 

 

в)

lim

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2x

 

 

 

 

 

 

x 0 sin x x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вычислить производную y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x

б) y 2x 1 4 x 3 5 ;

 

 

 

 

4

 

 

7

 

 

 

а)

y

 

 

 

3 x 6x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

y ln 2 cos2

x ;

 

 

 

г)

x2

 

 

 

y2

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

 

 

 

 

 

 

а) lim 1 cos 5x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0 1 cos 3x

 

 

 

 

б) lim xln(e

 

1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти точки экстремума функции y

 

2x 1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 10

 

 

 

 

 

 

 

206

 

 

 

 

 

 

x

3

 

y 5

 

Ответы: 1.

 

 

 

 

. 2. (1; 6;

5).

3.

 

 

 

 

. 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

5

 

 

 

 

 

 

5

22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. а) ; б) –1/48; в)

e15 2 ; г) –2. 7. а) 25

9 ; б) e . 8. x 0 точка мини-

мума, ymin 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46

Вариант 6

1. Даны матрицы

3 1

2

,

2

4

,

3 0

1

A

 

 

B

 

 

C

 

 

.

 

 

4 0

 

 

 

1

 

 

 

4 2

2

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

Найти значение AT B 2CT .

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:

3x1 2x2 4x3 12,3x1 4x2 2x3 6,2x1 x2 x3 9.

3.Вычислить, прикакихзначениях и векторы a i 5 j 3k

иb 2i 2 j k коллинеарны.

4.Найти угол между прямыми x 2 y 3 0 и 2x 3y 5 0.

5.Вычислить пределы:

а)

lim

 

n(n 5) n ;

 

 

б)

lim

 

x3 3x 2

 

;

 

 

 

 

 

x2 2x 1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

в)

lim

 

tg x

;

 

 

 

 

 

 

 

n2 1 n4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

2

 

 

 

 

x 2

x 2

 

 

 

 

 

 

 

lim

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y :

 

n

 

 

 

 

6. Вычислить производную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y arctg 4x ;

 

 

а)

y

 

 

 

 

 

 

 

3x2

x ;

 

б)

 

 

x 4 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

в) y tg5 x3 1 ;

 

 

 

г) y x 1 ln x .

 

 

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

 

а)

lim

 

 

x

 

 

;

 

 

 

 

 

 

б) lim 1 sin x 1 x 1 .

 

 

 

 

 

5x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

x 0 ctg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти точки перегиба функции y x4 12x3

48x2

50 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы:

1.

 

 

 

2

0

 

2. (0;

4; 5). 3. 5 ,

6 . 4. arctg

1 .

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

3

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e . 8. x 2

 

 

 

 

 

5. а) 5/2; б) ; в)

; г) 0. 7. а) 5/2; б)

 

и x 4 – точки

перегиба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47

Вариант 7

1. Найти значение многочлена f ( A) , если f (x) x2 x 2,

 

4

2

 

A

 

 

.

 

0

1

 

 

 

 

2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

 

3x1 5x2 x3 8,

 

 

3x1 2x2 2x3 15,

 

 

 

 

x1 5x2 3x3 4.

 

 

3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

a2; 4;3 , b 3; 2; 4 , c 3;1; 2 .

4.Составить каноническое уравнение прямой, проходящей че-

рез точки M1 7; 2;3 и M2 2; 1;5 .

5.Вычислить пределы:

а)

lim

 

 

n6 4

n 4

;

б) lim

 

x 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 6 n6 6 n 6

 

 

x

1 x2 1

 

в)

lim ln(1 sin x)

;

 

г) lim(cos x)1 x sin x .

 

x 0

arctg 3x

 

 

 

x 0

 

 

 

6. Вычислить производную y

:

 

 

 

 

 

 

 

y 32 x (3 2x) ;

 

x

 

y 1 cos 3x 3 ;

а)

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x arccos t

в)

x

y 7 ;

 

 

г)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 t .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

а)

3

1 2x 1

;

 

б)

lim

ln x 1 x .

lim

 

 

 

 

 

x

 

 

2 x x

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. Найти промежутки монотонности функции y 1 x x2 . 1 x x2

14 8

 

 

 

x 7

 

y 2

 

z

3

 

Ответы: 1.

 

 

. 2. (3; –1; –4). 3. 15. 4.

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

9

 

1

 

2

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

5. а) ; б) 1/4; в) 1/3; г) e 1 2 . 7. а) 4/9; б) 1.

8. Возрастает на ( ; 1)

и

(1; ) , убываетна ( 1;1) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48

 

Вариант 8

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

3

 

1. Найти обратную матрицу A 1 , если

 

7

3

10

 

A

.

 

 

 

 

6

20

 

 

 

15

 

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

4x1 5x2 2x3 6,

 

 

 

 

 

 

2x2 5x3 6,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x1 x3 13.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Даны две точки A 2; 3;1 , B 3;5; 1 . Найти координаты век-

тора AB и координаты точки E – середины отрезка AB .

4. Записать уравнение плоскости 5x 4 y 10z 20 0 в «отрезках по осям».

5. Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

 

 

n4 2n n

;

 

 

б) lim

 

 

2x 1 3

;

 

 

 

 

x2 16

 

 

2n2 n 9

 

 

 

n

 

 

 

 

x 4

 

 

в)

lim x2 3 4 x 2 ;

 

г) lim cos 2x cos 3x .

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

x2 sin 3x

6. Вычислить производную y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

x

y arctg x ;

 

а) y 6x3

6x

x

 

 

;

б)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

 

в) y ln3 (2x2 3x) ;

 

 

 

x

1 t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y t

2 t 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

а) lim

x cos x sin x

;

 

 

б)

lim

ln 2x 1 ln x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

8. Найти

интервалы

выпуклости

(вогнутости)

функции

y (x 2)e1 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

Ответы:

1.

 

10

 

 

5

1

 

–2;

 

2). 3. AB 1; 8; 2 ,

 

 

 

. 2. (–5;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

E 2,5;1; 0 . 4.

 

x

 

 

y

 

z

1.

5. а) 1/2; б) 1/24; в)

e 16 ; г) 0. 7. а) –1/3;

4

 

5

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) 1. 8. Выпукла на ( ; 4) , вогнута на ( 4; ) .

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Найти значение многочлена f ( A) ,

если f (x) x2 4x 6 ,

 

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

 

 

 

 

3x1 x2 5x3

13,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5x1 x2 x3 9,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x x

2

 

3x

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a 2;3;1 ,

 

b 1; 1;3 ,

 

3.

Проверить,

 

 

будут

 

ли

векторы

 

c 1;9; 11 компланарны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти

 

 

 

угол

 

между

плоскостями 2x 2 y z 4 0

 

и

6x 3y 2z 5 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить пределы:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

 

1 2n 3

8n3

 

 

;

 

б)

lim

 

x 13 2 x 1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2n 2 4n2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

x

3

x2 9

 

 

 

 

в) lim

1

cos x

;

 

 

 

 

 

 

г)

 

 

10x 3

5x

 

 

 

 

e3x

 

 

2

 

 

 

 

 

 

lim

10x 1

.

 

 

 

 

 

 

x 0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

6.

Вычислить производную y :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

y arcsin

4 2x ;

 

 

 

 

а) y e

2 x

 

2

x

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

x

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г) x arctg t

 

 

 

 

 

 

 

в) ln y

y

 

7 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ln(1 t2 ).

 

 

 

 

7.

Вычислить предел, применяя правило Лопиталя:

 

 

 

 

а)

lim x ln x;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) lim 1 sin 2x ctg x .

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Найти

 

наибольшее

и

наименьшее

значения функции

 

и

y

100 x2

 

 

на отрезке 6; 8 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответы:

 

1.

 

 

1

 

 

 

 

1

 

2. (–2; –3;

 

 

 

3. Да. 4. arccos

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

–2).

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. а) 3/2; б) –1/16; в) 1/18; г) e 1 . 7. а) 0; б) e –2. 8. fнаиб f (0) 10 , fнаим f (8) 6 .

50

Соседние файлы в папке Математика