Математика / Элементы линейной алгебры

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

1.1. Матрицы. Действия над матрицами

Матрицей размерности n m называется прямоугольная таблица, состоящая из n строк и m столбцов:

Если n m , то матрица называется квадратной порядка n. Элемент aij таблицы имеет два индекса, где i – номер строки, в

которой находится элемент, j – номер столбца.

Диагональ, содержащая элементы a11 , a22 , …, ann , называется

главной диагональю квадратной матрицы A , а диагональ, содержащая элементы a1n , a2n 1 , …, an1 – побочной диагональю.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю.

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой E .

Треугольной называется квадратная матрица, у которой все элементы, расположенныепооднусторонуотглавнойдиагонали, равнынулю.

Транспонированной к матрице A называется матрица AT , полученная заменой каждой строки исходной матрицы столбцом с тем же номером.

Для матриц определены следующие операции:

1) сложение (вычитание) определено только для матриц одинаковых размерностей. Если A B C , то каждый элемент cij матрицы

Cвычисляется по формуле: cij aij bij ;

2)умножение матрицы на число состоит в умножении каждого элемента матрицы на это число;

3)умножение матриц определено только тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, т. е.

An m Bm j Cn j , при этом элемент i-й строки k-го столбца матрицы

C равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B;

3

4) возведение матрицы в степень определено только для квад-

ратной матрицы. Целой положительной степенью Ak квадратной матрицы A называется произведение k матриц, каждая из которых равна A. Нулевой степенью квадратной матрицы A( A 0) называется

единичная матрица того же порядка, что и A, т. е. A0 E .

вычислить ABT 2C.

1.2. Определители. Вычисление определителей

Определитель есть число, которое ставится в соответствие квадратной матрице A порядка n и вычисляется по определенному правилу. Обозначения: det A, A , ∆.

Определитель первого порядка:

4

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу тре-

угольников:

Решение. Воспользуемся формулами (1.1)–(1.3):

а) | 7 | 7;

Свойства определителей

•Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании.

•При перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

•Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю.

•Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) соответственно пропорциональны элементам другой строки (столбца), равен нулю. В частности, определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю.

•Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

5

Разложение определителя по строке (столбцу). Вычисление определителей высших порядков

Минором Mij элемента aij определителя называется определи-

тель, полученный из исходного путем вычeркивания i-й строки и j-го столбца. Алгебраическим дополнением Aij элемента aij определителя

называется его минор, взятый со знаком 1 i j , т. е.

Для вычисления определителя n-го порядка удобно пользоваться следующим свойством: определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Для разложения определителя лучше выбирать тот ряд, где есть нулевые элементы, так как соответствующие им слагаемые в разложении будут равны нулю.

его по первой строке.

Решение. Воспользуемся свойством, описанным выше, и фор-

мулой (1.4):

1.3. Обратная матрица

Матрицей, обратной квадратной матрице A, называется квадратная матрица A 1 , удовлетворяющая равенствам

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. В противном случае матрица называется

6

вырожденной. Всякая невырожденная квадратная матрица A имеет единственную обратную матрицу A 1 :

где Aij – алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A (алгебраическое дополнение Aij записывается в строку с номером j и в

столбец с номером i, т. е. в так называемом транспонированном порядке).

следовательно матрица A имеет обратную матрицу. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A по формуле (1.4):

По формуле (1.6) получим:

7

1.4. Решение систем линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называют систему вида:

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Систему (1.7) можно представить в матричном виде: AX B , где A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных, B – столбец свободных членов:

Матрица коэффициентов системы, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы.

Метод обратной матрицы

Этот метод можно применить для решения систем, состоящих из n уравнений с n неизвестными. Если матрица коэффициентов A является невырожденной, то столбец неизвестных X можно найти по формуле

Таким образом, чтобы найти столбец неизвестных нужно найти матрицу, обратную матрице коэффициентов, и умножить ее на столбец свободных членов.

Метод Крамера

Метод Крамера также можно применять только для систем, у которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы коэффициентов отличен от нуля. Решение такой системы находится по формулам Крамера:

8

где – определитель матрицы A , i – определитель, полученный иззаменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных и состоит из двух этапов: прямой ход – посредством эквивалентных преобразований система приводится к треугольному виду; обратный ход – решается полученная треугольная система, начиная с последнего уравнения. К эквивалентным преобразованиям системы относятся:

–умножение любого уравнения системы на произвольное, отличное от нуля, число;

–замена местами строк системы;

–прибавление к какому-либо уравнению системы любого другого уравнения системы, умноженного на некоторое число.

Пример 1.6. Решить систему уравнений методом обратной матрицы, с помощью формул Крамера и методом Гаусса:

3x1 2x2 x3 6,x1 x2 3x3 4,x1 2x2 3x3 10.

Решение. Запишем систему в матричном виде AX B , где

Вычислим det A 24 . Так как он отличен от нуля, то существует обратная матрица A 1 , которую найдем по формуле (1.6):

Пользуясь формулой (1.9), получим решение системы:

9

Решим исходную систему методом Крамера. Выше было показано, что det A 24 . Найдем i по формуле (1.3):

Далее, по формулам (1.10) получим:

Решим систему методом Гаусса. Прямой ход:

Приведем расширенную матрицу системы к треугольному виду:

Обратный ход:

Запишем систему по приведенной матрице:

10