Математика / Вопросы_Черн_ЗО_1сем
.docВопросы
к экзамену (зачету) по математике, 1семестр для студентов заочной (полной и сокращенной) формы обучения инженерно-технических и
экономических специальностей
-
Базис и координаты вектора. Операции над векторами в координатной форме.
-
Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между векторами. Условие ортогональности векторов. Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе.
-
Векторное произведение векторов и его свойства. Векторное произведение векторов в координатной форме. Коллинеарные векторы. Условие коллинеарности двух векторов. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
-
Смешанное произведение трех векторов и его свойства. Смешанное произведение в координатной форме. Компланарные векторы, условие компланарности трех векторов. Геометрический смысл смешанного произведения векторов.
-
Понятие об уравнениях поверхности и линии. Канонические равнения сферы, эллипсоида, цилиндра, конуса, однополостного и двуполостного гиперболоида, эллиптического и гиперболического параболоида. Канонические уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы, их геометрические свойства: директриса, фокус, эксцетриситет.
-
Уравнения прямой на плоскости и в пространстве: векторное и скалярное параметрические уравнения прямой, каноническое уравнение прямой и уравнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
-
Уравнение плоскости с заданным вектором нормали; векторное и скалярное параметрические уравнения плоскости. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках и нормированное уравнение плоскости.
-
Угол между плоскостями, между прямой и плоскостью, между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, плоскостей и прямой и плоскости.
-
Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости. Расстояние между непараллельными прямыми.
-
Матрицы. Действия над матрицами и их свойства. Примеры.
-
Определители и их основные свойства. Примеры вычисления определителей.
-
Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы. Обратная матрица и матричный способ решения невырожденной системы. Решение невырожденной системы по формулам Крамера. Примеры.
-
Метод Гаусса. Пример. Базисный минор и ранг матрицы. Теорема
Кронекера-Капелли.
-
Предел функции в точке и в бесконечности. Односторонние пределы функции. Теоремы о пределах: предел суммы, произведения и частного. Первый и второй замечательный пределы.
-
Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва функции.
-
Понятие обратной и сложной функций. Теорема о непрерывности сложной функции.
-
Бесконечно большие и бесконечно малые функции и их сравнение. Ограниченные функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. Теорема о представлении функции, имеющей предел.
-
Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования: (С)′; (СU)′; (U±V)′; (UV)′; (U/V)′. Производные сложной и обратной функций. Таблица производных.
-
Дифференцируемость функции и его следствия. Левая и правая производные функции. Дифференциал функции и его геометрический и физический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Физический смысл второй производной.
-
Производные функций, заданных неявно и параметрически. Примеры.
-
Теоремы Роля, Лагранжа и Коши.
-
Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Примеры.
-
Формулы Тейлора и Маклорена. Примеры разложений , , .
-
Возрастающие и убывающие функции; условия возрастания и убывания функции.
-
Локальный экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Критические точки. Достаточные условия экстремума (теоремы).
-
Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Достаточное условие выпуклости и вогнутости функции.
-
Асимптоты кривой. Общая схема исследования функции.
Составил: доцент Черниченко Ю.Д.