Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Математика / Элементы линейной алгебры

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
15.04.2015
Размер:
722.54 Кб
Скачать

3)

уравнение прямой с угловым коэффициентом:

 

 

 

 

 

 

y kx b ;

 

 

 

(2.24)

4)

параметрические уравнения прямой:

 

 

 

 

 

 

x

x0

mt

 

 

 

(2.25)

 

 

 

 

 

 

y0

nt,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

где s(m; n) – направляющий вектор прямой, M0 x0 ; y0

– точка, ле-

жащая на прямой;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

каноническое уравнение прямой:

 

 

 

 

 

 

 

x x0

 

 

 

 

 

y y0

 

;

(2.26)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

6)

уравнение прямой в «отрезках по осям»:

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

y

 

1;

 

 

 

 

 

(2.27)

 

 

 

 

 

 

a

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

уравнение прямой, проходящей через две точки:

 

 

 

 

x x1

 

 

 

y y1

.

(2.28)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

x

 

 

 

 

 

y

2

y

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Тангенс угла между прямыми

y k1x b1 и y k2 x b2 опреде-

ляется по формуле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

k2 k1

.

(2.29)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 k k

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

Условие перпендикулярности двух прямых: k1k2 1. Условие параллельности двух прямых: k1 k2 .

Расстояние d от точки M0 x0 ; y0 до прямой Ax By C 0 вычисляется по формуле

d

 

Ax0

By0

C

 

.

(2.30)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.19. Для прямой 3x 4 y 12 0 записать ее уравнение в «отрезках по осям».

21

Решение. Преобразуем исходное уравнение прямой: 3x 4 y 12 . Теперь правую и левую части равенства разделим на 12 :

 

x

 

 

 

y

1. Получили уравнение прямой, которое соответствует урав-

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нению (2.27).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 2.20. Составить уравнение прямой, проходящей через

точки A 2;5

и B 3; 8 .

 

 

x 2

 

y 5

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

По

формуле

(2.28)

имеем:

 

, откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

y 5

 

 

 

 

 

 

 

3 2

8 5

 

 

 

. Окончательно получим

3x 5 y 31 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример

2.21.

 

 

Доказать, что прямые 2x 3y 1 0 и

6x 4 y 3 0 взаимно перпендикулярны.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Приведем уравнения исходных прямых к виду (2.24):

 

y 2 x 1 и

y 3 x 3 . Запишем угловые коэффициенты: k

2

 

 

 

 

 

3

3

 

2

 

 

4

 

 

 

 

1

3

и k

2

 

3 . Так

как k k

2

2 3 1,

то данные прямые перпендику-

 

 

 

 

 

2

 

1

 

3

2

 

 

 

 

 

 

лярны.

3. ПРЕДЕЛЫ

Если каждому натуральному числу n по определенному закону ставится в соответсятвие действительное число an , то говорят, что

задана числовая последовательность an . Например,

1

 

1

1

,

,

1

, .

 

 

 

1, ,

3

n

 

n

2

 

 

 

an , если

 

 

Число

a

называется пределом последовательности

для любого сколь угодно малого числа 0 найдется номер N (зависящий от ), такой, что для всех членов последовательности с номе-

рами n N выполняется неравенство an a . При этом пишут

lim an a . Последовательность, имеющую предел, называют сходя-

n

щейся, в противном случае – расходящейся. Последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой, а последовательность, предел которой равен бесконечности, – бесконечно

22

большой. Например, 1 – бесконечно малая последовательность,n

так как

 

 

 

 

3

n

 

 

lim 1 0 , а последовательность

является бесконечно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

.

 

 

 

 

 

большой, так как lim

2

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

Для сходящихся последовательностей an

и bn , таких, что

lim a

n

a и lim b b , имеют место следующие теоремы о пределах:

n

n n

 

 

lim can ca ;

 

lim (an bn ) a b ;

 

n

 

 

n

a

 

 

a

 

 

lim a b ab ;

 

 

lim

n

 

(b 0 n, b 0).

 

n n n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n b

 

 

b

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

Число b называется пределом функции y f (x) в точке а, если для любой последовательности xn значений аргумента, сходящейся

кчислу а, соответствующая последовательность значений функции

f (xn ) сходится к числу b.

Из определения предела функции следует, что все теоремы о пределах последовательностей можно обобщить на случай предела функций.

Первым замечательным пределом называют предел вида

lim sin x 1.

x 0 x

Следствия первого замечательного предела:

lim

x

1;

 

 

 

 

x 0 sin x

 

 

lim sin mx

m ;

x 0

x

 

 

lim sin mx

m

;

x 0 sin nx

n

 

lim tg x

1;

 

x 0

x

 

 

lim arctg x 1;

x 0 x

(3.1)

(3.2)

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

23

 

 

 

lim arcsin x

1.

 

 

(3.7)

 

 

 

x 0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вторым замечательным пределом называют предел вида

 

 

1

x

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

lim(1 x) x

e 2,71828 .

(3.8)

lim 1

x

 

x

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следствия второго замечательного предела:

 

 

 

 

 

 

1

kx

e

k

;

 

(3.9)

 

 

 

lim 1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m x

e

m

;

 

(3.10)

 

 

 

lim 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim loga (1 x)

 

 

 

1

;

(3.11)

 

 

ln a

 

 

x 0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ax 1

ln a ;

 

 

(3.12)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

ex 1

1;

 

 

 

 

(3.13)

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim ln(1 x)

1.

 

 

(3.14)

 

 

 

x 0

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция (x) называется бесконечно малой при x a , ес-

ли lim (x) 0. Если отношение двух бесконечно малых (x) и (x)

x a

стремится к единице при x a , то (x) и (x) называются эквива-

лентными бесконечно малыми при x a , что обозначается так: (x) ~ (x) при x a .

На основании приведенных определений, а также первого и второго замечательных пределов и их следствий, можно записать сле-

дующие соотношения эквивалентности при x 0 :

sin x ~ x ;

 

 

(3.15)

tg x ~ x ;

 

 

(3.16)

loga (1 x) ~

 

x

;

(3.17)

ln a

 

 

 

24

ln(1 x) ~ x ;

(3.18)

n 1 x 1 ~ x n ;

(3.19)

arcsin x ~ x ;

(3.20)

arctg x ~ x ;

(3.21)

ax 1 ~ x ln a ;

(3.22)

ex 1 ~ x ;

(3.23)

(1 x)b 1 ~ bx ;

(3.24)

1 cos x ~

x2

.

(3.25)

 

 

 

2

 

 

 

Техника вычисления пределов

 

При нахождении предела lim

f (x)

, когда f (x) и g(x)

– беско-

 

x a

g(x)

 

нечно малые (бесконечно большие) функции при x a , принято го-

x a

lim f (x)g(x) и lim( f (x))g ( x) . Отыскание предела в таких случаях на-

x a

x a

 

f (x) при x a представляет собой неопре-

ворить, что отношение

деленность вида 0

 

g(x)

 

 

 

(соответственно,

). Аналогично вводятся

 

0

 

 

 

 

неопределенности вида , 0 ,

а также 1 , 00 и 0 , ко-

торые

встречаются

при нахождении

пределов lim( f (x) g(x)) ,

зывают раскрытием неопределенности.

 

 

1. Раскрытие неопределенностей вида

.

 

 

К таким неопределенностям приводит, как правило, вычисление

пределов вида lim P(x) , где P(x) и Q(x) – функции целой или дробной

x Q(x)

степени переменной х. Для вычисления пределов такого вида необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на х в наивысшей степени, содержащейся во всем выражении.

Пример 3.1. Вычислить предел:

а) lim

3x

3

2x 4

;

б) lim

(2x 1)(x 3)

.

 

x4

2x 4 5x2

x

2x3 5x

 

x

 

25

Решение: а) При подстановке предельного значения в функцию

получаем неопределенность

 

. Разделим числитель и знаменатель

дроби на x3 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x3

 

2x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 0 0

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

2x3

5x

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

2

0

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Разделим числитель и знаменатель на x2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2x 1)(x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 1

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

4

2x 4

5x

2

 

 

 

x

 

 

x

4

2x

4

 

5x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

x

 

 

 

 

2 1

 

 

 

2

 

 

1

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

x4 2x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

1 5

6

3

x

 

 

 

5

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если деление на старшую степень представляется затрудни-

тельным, то при вычислении предела вида lim P(x) можно восполь-

x Q(x)

зоваться следующим правилом:

предел равен нулю, если степень числителя меньше степени знаменателя;

предел равен бесконечности, если степень числителя больше степени знаменателя;

предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, если степени числителя и знаменателя равны.

 

Пример 3.2. Вычислить предел

lim

4

2 3n 3 n4 5n

.

 

 

 

 

 

n n 6

8n

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Решение. Старшая степень числителя k max(1

4 , 4 3, 1) 4 3,

старшая степень знаменателя m max(1

1

, 1) 1 1 . Так как

4 3 1

1

,

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

2

 

то

4

2 3n 3 n4 5n

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n n 6 8n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

Пример 3.3. Вычислить предел lim

(n 2)!

 

.

 

 

(n 1)! (n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

Решение. Необходимо

 

 

 

напомнить,

что

n! 1 2 3... n ,

(n 1)! n!(n 1) .

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

(n 2)!

 

 

lim

(n 1)!n(n 1)(n 2)

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)!(n(n 1) 1)

 

 

n (n 1)! (n 1)!

 

n

 

 

 

lim

(n 1)!(n3 3n2

2n)

 

 

lim

n3

3n2 2n

.

(n 1)!(n2 n

1)

 

 

 

n2

n 1

n

 

 

 

n

 

2.Раскрытие неопределенностей вида 0 .

0

2.1. Пределы вида

lim

Pn (x)

,

где Pn (x) и Qm (x)

– многочлены

 

(x)

 

x a Q

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

степени, соответственно, n и m. Общий прием в таких случаях – разделить числитель и знаменатель дроби на бином (x a), после чего опять подставить предельное значение. Если неопределенность сохраняется, процедуру повторить. Во многих случаях удается выделить в числителе и знаменателе критический множитель (x a), применяя алгебраические преобразования, формулы сокращенного умножения и разложение на множители квадратного трехчлена:

a2 b2 (a b)(a b) ;

 

 

 

 

 

 

a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ;

 

 

 

(a b)2 a2 2ab b2 ;

 

 

 

 

 

 

a3 b3 (a b)(a2 ab b2 ) ;

 

 

 

(a b)2 a2 2ab b2 ;

 

 

 

 

 

 

ax2 bx c a(x x )(x x

) ,

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

 

где x b

D , D b2

4ac.

 

 

 

 

1,2

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x3

3x 10

 

Пример 3.4. Вычислить

lim

.

 

3x2

4x 4

 

 

 

x 2

 

 

Решение. Разделим числитель на знаменатель в столбик:

27

2x3 3x 10

 

x 2

 

2x3 4x2

 

 

2x2 4x

5.

 

 

4x2 3x 10

4x2 8x

5x 10

5x 10

0

Найдем корни квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, и разложим его на множители: 3x2 4x 4 3(x 23)(x 2) . Тогда

lim

2x3

3x 10

 

0

lim

(2x2 4x 5)(x 2)

lim

2x2 4x 5

 

21

.

3x2

4x 4

 

0

 

3(x 2 3)( x 2)

3x 2

2

x 2

 

 

x 2

x 2

 

 

 

2.2. Пределы вида

lim

P(x)

,

где P(x)

и Q(x) –

 

функции,

со-

Q(x)

 

 

 

 

 

 

 

x

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

держащие иррациональность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.5. Вычислить предел lim

3

2x 3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

x3

27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на выра-

жение, сопряженное к числителю,

а выражение x3 27 разложим на

множители:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

3

2x 3

 

 

0

lim

(3 2x

3)(3 2x 3)

 

 

 

 

 

 

 

x3

27

 

0

 

(x3 27)(3

2x

3)

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

32

(2x 3)

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

6 2x

 

 

 

 

(x 3)(x2

3x 9)(3

2x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

3)

x 3

 

x

3 (x 3)(x2 3x 9)(3

 

lim

 

 

 

 

2(x 3)

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

(x 3)(x2 3x 9)(3

 

2x 3)

(x2

3x 9)(3

2x 3)

x 3

 

x 3

 

 

 

lim

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

(32 3 3 9)(3

 

2

3 3)

27 6

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

81

 

 

 

 

2.3. Пределы, содержащие тригонометрические функции, решаются сведением к первому замечательному пределу (3.1) с помощью преобразований тригонометрических выражений, а также деления числителя и знаменателя на х в соответствующей степени.

28

Пример 3.6. Вычислить предел lim

 

 

xsin 3x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

cos 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Воспользуемся формулой

1 cos 2 sin

2

, а затем

 

 

 

 

2

 

 

разделим числитель и знаменатель дроби на x2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin 3x

 

0

 

 

x sin 3x

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 cos 4x

0

 

 

4x

 

 

 

sin2 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

x 0

2 sin

2

 

 

2 x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

sin 3x

 

1

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

=[применим следствие (3.3)]

lim

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

22

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x 0 sin 2x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Этот же предел можно вычислить, воспользовавшись эквива-

 

 

лентными бесконечно малыми (3.15) и (3.25):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 3x ~ 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x sin 3x

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3x

 

 

 

 

 

3x2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

lim

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

1 cos 4x

0

 

 

 

 

 

16x

2 2

 

8x2

8

x 0

 

 

1 cos 4x ~

 

 

x 0

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Эквивалентные бесконечно малые также удобно применять при нахождении пределов, содержащих логарифмические и показательные функции.

Пример 3.7. Вычислить предел:

а) lim

arcsin 5x2 arctg2 3x

;

б)

lim

2 x 32 x

.

ln(2x2 1)

x

x 0

 

 

x 0

 

Решение: а) Воспользуемся эквивалентными бесконечно малы-

ми (3.18), (3.20), (3.21):

 

arcsin 5x2 arctg2 3x

 

 

 

arcsin 5x2

~ 5x2

 

 

 

0

 

 

2

 

 

2

 

lim

 

 

 

 

 

 

arctg

 

 

 

 

ln(2x2

1)

 

 

0

 

 

 

3x ~ 3x

 

x 0

 

 

 

 

 

 

2

1) ~ 2x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(2x

 

 

 

 

 

 

5x2 9x2

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

7;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) Для того чтобы воспользоваться формулой (3.22), в числителе дроби добавим и отнимем единицу:

29

 

2 x 32 x

 

0

 

(2 x 1) (32 x 1)

2 x 1 ~ x ln 2

 

lim

x

 

0

 

lim

x

 

2 x

 

 

x 0

 

 

x 0

3

 

1 ~ 2x ln 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim x ln 2 2x ln 3

lim

x(ln 2 2 ln 3) (ln 2 2 ln 3)

 

 

 

x 0

 

 

x

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ln 2 ln 32 ) ln 2 32 ln18.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.8. Вычислить предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

lim

sin(x 2)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

lim tg 3x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

Решение: а) Так как sin(x 2) 0 при x 2, то можно приме-

нить формулу (3.15):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(x

 

2)

 

 

0

 

sin(x 2) ~ x

2 lim

 

x 2

 

 

 

 

 

lim

 

4 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

(2 x)(2

x)

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

1

 

 

1 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

При подстановке

x получаем

неопределенность

 

0

 

 

0

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сделаем замену t x . Тогда x t ,

причем t 0 при x .

 

lim

 

tg 3x

 

 

0

lim

tg 3( t)

lim

tg (3 3t)

lim

tg ( 3t)

 

 

 

x

 

0

 

t

 

 

 

 

t

 

 

 

t

 

 

 

x

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

t

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg ( 3t) ~ 3t

lim

 

3t

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при t

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Раскрытие неопределенностей вида .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 3.9. Вычислить предел

lim x2

1

x2

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Имеем неопределенность . Умножим и разде-

лим выражение на сопряженный множитель

 

(

x2 1

 

x2

x).

Получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

x2 1

 

x2 x

lim

 

x2 1

x2 x

x2 1

x2 x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x2 1

x2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1 (x2 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 1

x2 x

 

x2

1

x2 x

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

30

Соседние файлы в папке Математика