§9. Ряды комплексных чисел.

1. Числовые ряды.

Пусть дана последовательность {a_k} комплексных чисел.

Определение. Бесконечная сумма членов последовательности называетсярядом.

Определение.Конечные суммыS_n=называютсячастичными суммамиряда.

Они также образуют последовательность {S_n}.

Определение.Числовой ряд называетсясходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм {S_n}S. Предел последовательности частичных сумм называетсясуммой ряда =S.

Определение.Ряд-остаток ряда. Очевидно. Остаток сходящегося ряда – число. Будем обозначать егоr_n.

Пример.Сумма бесконечной геометрической прогрессии- простейший пример ряда. Последовательность частичных сумм этого ряда . Приq<0 этот ряд сходится и .

2. Свойства сходящихся рядов.

Необходимый признак сходимости ряда. Еслисходится, тоa_n0 .

Доказательство. У сходящегося ряд сходится последовательность частичных сумм {S_n}>0N(): |S_n+m-S_n|<дляn>Nиm>0|a_n+1|=|S_n+1-S_n|<дляn>Na_n0 приn.

Теорема 9.1.Пустьc– комплексное число. Если рядсходится, то и рядтакже сходится и

.

Доказательство.Рассмотрим частичные суммыи. По условию. Т.к.S_n=cS’_n и =. Согласно определению суммы ряда отсюда сразу следует

.

Теорема 9.2.Пусть рядыисходятся, тогда рядтакже сходится и

=+.

Доказательство.Рассмотрим частичные суммы,и. Очевидно,_n=S_n+S’_n. По условиюи= +. Откуда сразу следует утверждение теоремы.

Пример.==.

3. Критерий Коши сходимости ряда.

Для числовых последовательностей существует необходимый и достаточный признак сходимости. {S_n} сходится>0N(): |S_n+m-S_n|<дляn>Nиm>0. Отсюда следует

Критерий Коши сходимости ряда:Для сходимости ряданеобходимо и достаточно, чтобы>0N(): |a_n+a_n+1+…+a_n+m|<дляn>Nиm0.

Пример.Рассмотримгармонический ряд-.

n>0m=n-1 =>.

Таким образом, для n>0 при=0.5 иm=n-1 критерий Коши не выполняется.

§10 Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

1. Основные понятия.

Определение. Если ряд из модулейсходится, то ряд исходный рядназываетсяабсолютно сходящимся.

Теорема 10.1.Если ряд сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле.

Доказательство.

Если ряд из модулейсходится, то для него выполнен критерий Коши>0N():<дляn>Nиm0, но |a_n+a_n+1+…+a_n+m|<для исходного ряда также выполнен критерий Коши и он сходится.

Обратное, вообще говоря, неверно.

Определение.Если сам ряд сходится, а соответствующий ряд из модулей расходится, то ряд называетсяусловно сходящимся.

Из свойств неубывающих последовательностей 

Лемма.Для того, чтобы ряд с неотрицательными членами сходился необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была бы ограниченна сверху, причем, еслиS=sup{}, тоS– сумма ряда.

Пример.

=

Т.о. у ряда с положительными членами ограничена последовательность частичных сумм ряд сходится.

2. Признаки сравнения для рядов с неотрицательными членами.

Теорема 10.2.(Первый признак сравнения) Пустьa_n 0, b_n 0 иa_n =O(b_n).Тогда

1. если ряд сходится, то сходится и ряд;

2. если же расходится ряд , то расходится и ряд.

Доказательство.

По определению a_n =O( b_n) 0<c<:a_n c b_n, в частности возможноa_n b_n.

1. если “больший” ряд сходитсяограничена последовательность его частичных суммM<, но тогда последовательность частичных сумм “меньшего” рядаcMтакже ограничена сверху. Тогда поЛеммерядсходится.

2. Предположим обратное, а именно “больший” ряд сходится, тогда по доказанному в п.1) “меньший” ряддолжен сходится, а это противоречит условию.

Теорема 10.3.(Второй признак сравнения) Пустьa_n >0, b_n >0 и, 0<k<.Тогда рядыисходятся или расходятся одновременно.

Доказательство.

Если , то>0N():n>N()

Выбирая, можем добитьсяk->0. Применяяпервый признак сравненияи оценку, получим, что из сходимости рядаследует сходимость ряда. Аналогично используя оценку, из расходимости рядаследует рассходимость ряда.