§23. Ряд Лорана.

1. Кольцо сходимости ряда Лорана.

Определение.Рядом Лорана называется степенной ряд вида(суммирование ведется и по положительным, и по отрицательным степеням), здесьz₀– фиксированная точка комплексной плоскости.

Второе слагаемоеназываетсяправильной (регулярной) частьюряда Лорана, первое-главной частьюряда Лорана.

Очевидно, областью сходимости ряда Лорана будет пересечение областей сходимости его регулярной и главной части.

Из теоремы Абеля следует, что регулярная часть сходится в круге и является в нем аналитической функцией.C^(|z-z₀|<R₁).

Сделаем замену 1/(z-z₀)=; главная часть ряда Лорана принимает вид. По теореме Абеля такой ряд сходится при, что соответствует внешности круга.

При R₂<R₁ существует общая область сходимости -круговое кольцо R₂<|z-z₀|<R₁.Свойства степенного ряда, следующие из теоремы Абеля :

1. C^(R₂<|z-z₀|<R₁).

2. Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также аналитичны в том же кольце.

3. R₁определяется через {c_n},n=0,1,2...,:R₁=1/L₁, L₁=или L₁=, а R₂- через {c_-n}, n=1,2...,: R₂=, или R₂=.

4. Коэффициенты ряда Лорана c_nчерез значения суммы ряда в точкеz₀ не определяются! В точке z₀ сумма ряда Лорана не определена!

Пимеры:

1. ,

2. ,

3. ,

2. Теорема о разложении функции комплексной переменной, аналитической в круговом кольце в ряд Лорана.

Теорема(теорема Лорана) Еслиf(z)C^(R₂<|z-z₀|<R₁), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лоранаf(z)=.

Доказательство. Фиксируем произвольную точкуzвнутри кольца:(R₂<|z-z₀|<R₁) и построим окружностиC₁ :|-z₀|=R'₁иC₂: |-z₀|=R'₂, с центром в точкеz₀ и радиусамиR'₁иR'₂ :R₂<R'₂<|z-z₀|<R'₁<R₁.

По формуле Коши для многосвязной областив силу аналитичностиf(z),справедливо

f(z)==f₁(z)+f₂(z)

На окружности C₁ :|-z₀|=R'₁выполняется неравенство. Поэтому, дробь 1/(-z) можно представить в виде

Проведя почленное интегрирование, что возможно в силу равномерной сходимости ряда по переменной наC₁

,

где введено обозначение

,n>0.

На окружности C₂:|-z₀|=R'₂выполняется неравенство. Поэтому, дробь 1/(-z) можно представить в виде

В результате почленного интегрирования этого ряда получим:

,

где введено обозначение

Изменив направление интегрирования, получим:

,n>0

Подынтегральные функции в выражениях для c_n иc_-nявляются аналитическими в круговом кольцеR₂<|z-z₀|<R_1.. Поэтому в силутеоремы Кошизначения соответствующих интегралов не изменится при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности подынтегральных функций. Это позволяет записать общее выражение

,n=0,1,2,…

где C- произвольный замкнутый контур, лежащий в кольцеR₂<|z-z₀|<R₁ и содержащий точкуz₀внутри. Дляf(z)окончательно можно записать:

f(z)=.

Т.к. z - произвольная точка внутри кольцаR₂<|z-z₀|<R₁ряд сходится кf(z)всюду внутри данного кольца, причем в замкнутом кольцеR₂<R'₂|z-z₀|R'₁<R₁ряд сходится кf(z)равномерно.

Докажем единственность разложения в ряд Лорана. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= , где хотя бы один коэффициентc'_nc_n. Тогда всюду внутри кольцаR₂<|z-z₀|<R₁имеет место равенство: =

Проведем окружность C_R , радиусаR: R ₂<R<R₁, с центром в точкеz₀. Тогда ряды и сходятся наC_R равномерно.

Умножим оба ряда на (z-z₀)^-m-1, гдеm- произвольное целое число и проинтегрируем почленно по окружностиC_R.

Рассмотрим .

Т.о. для mc'_m=c_m.

Примеры. Разложить в ряд Лорана с центром в

1. ,

2. ,

2. Ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Определение.Степенной ряд вида, сходящийся во круговом кольценазываетсярядом Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Внимание.Главной частьюряда Лорана в окрестностиназывается, арегулярной (все наоборот).

Чтобы разложить функцию f(z)в ряд Лорана в окрестностинужно выполнить замену переменнойи провести разложение функциив ряд Лорана с центром в точке. Выполнив обратную замену переменной, получим искомый ряд Лорана в окрестности.

Пример.

Разложить в ряд Лорана с центром .

Ряд Лорана содержит только регулярную часть.§24. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции. Особые точки.

Определение.Точкаz₀называетсяизолированной особой точкойфункцииf(z),еслиf(z)однозначная иf(z)C^(0<|z-z₀|<(z₀)), а точкаz₀являетсяособой точкойфункцииf(z).

Другими словами, точка z₀называетсяизолированной особой точкойфункцииf(z),еслитакая окрестность точкиz₀, в которой нет других особых точек функцииf(z).В самой особой точкеz₀функцияf(z)может быть не определена. Функциюf(z)в окрестности точкиz₀можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце 0<|z-z₀|<(z₀). Поведение функцииf(z)в окрестности точкиz₀определяется главной частью ряда Лорана, т.к. регулярная часть ряда Лорана, очевидно, является непрерывной в окрестности точкиz₀и равнаc₀в ней.

1. Классификация изолированных особых точек

Возможны три случая:

Название особой точки		Коэффициенты ряда Лорана	Главная часть ряда Лорана
Устранимая особая точка	 конечный предел	,n>0	отсутствует
Полюс порядка m	, но 	,n>m	Содержит не более mчленов
Существенно особая точка	не существует	 N>0n>N:	Содержит бесконечно много членов

Проиллюстрируем их:

1) Определение.Если главная часть ряда Лорана с центром разложения в особой точкеравна 0, тоназываетсяустранимой особой точкой.

Для n>0c_-n=0главная часть ряда Лорана=0;

Тогда .

Если функция не определена в точке z₀, то ее можно доопределить по непрерывности, положивf(z₀)=c₀.

Теорема 24.1Еслиf(z)C^(0<|z-z₀|<(z₀)) и |f(z)|<M при 0<|z-z₀|<(z₀), тоz₀- устранимая особая точка.

Функция ограничена по модулю в окрестности устранимой особой точки.

Доказательство.Разложимf(z)в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части.

,n>0

В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z₀и радиуса

С_: |-z₀|=. Тогда, сделав замену-z₀=e^i, d=ie^idи учтя, что |e^in|=1, получим оценку: |c_-n|<M^n-10 при0. Т.к. значенияc_-n не зависят от, тоc_-n=0.

Замечание.В окрестности устранимой особой точки верно представление, гдеи.

2) Определение. Если главная часть ряда Лорана функцииf(z)в окрестности ее изолированной особой точкиz₀содержит конечное число членов:

дляпричем

то z₀ - называетсяполюсом порядка m.

В окрестности полюса верно представление

;

и(z₀)0.

Из такого представления функции f(z)вблизи полюса порядка m видно, чтоf(z)неограниченно возрастает приzz₀. Верна и обратная теорема.

Теорема 24.2 Еслиf(z)C^(0<|z-z₀|<(z₀)),z₀- изолированная особая точкаf(z)и (независимо от способа стремленияzкz₀), тоz₀- полюсf(z).

Доказательство. => дляA>0: 0<|z-z₀|<, |f(z)|>A; Рассмотримg(z)=1/f(z);g(z)C^(0<|z-z₀|<); |g(z)|<1/A=M => z₀– нуль для функцииg(z) g(z)=(z-z₀)^m(z),m>0 ,(z₀)0,и(z₀)0

Замечание.Точкаz₀, являющаяся нулем порядкаmдля функцииg(z),является полюсом того же порядка для функции f(z)=1/g(z)!

3) Определение.Точкаz₀называетсясущественно особойточкой функцииf(z),если главная часть ряда Лорана функцииf(z)в окрестности ее изолированной особой точкиz₀содержит бесконечно много членов.

Бесконечное число коэффициентов c_-n0.

Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.

Теорема Сохоцкого-ВейерштрассаДлякомплексного числа B и>0, в-окрестности существенно особой точкиz₀z₁: |z₁-z₀|<и |f(z₁)-B|<.

Доказательство . (От противного)

Пусть такие₀ и₀: дляz 0<|z-z₀|<₀; |f(z)-B|>₀. Рассмотримg(z)=1/[f(z)-B]. В указанной окрестности |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/₀=Mg(z)– ограниченна по модулю. Т.о. z₀- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 24.1)g(z)=(z-z₀)^m(z),m0 ,(z₀)0. Т.о. f(z)=B+1/[(z-z₀)^m(z)]=B+(z-z₀)^-m(z);(z₀)0z₀- либо полюсf(z) m>0, либо устранимая точка приm=0. Получили противоречие.

 Замечание 1. {_n}0 =>{z⁽ⁿ⁾₁}z₀. {f(z⁽ⁿ⁾₁)}Bв окрестности существенно особой точки можно выбрать {z⁽ⁿ⁾₁}z₀такую, что {f(z⁽ⁿ⁾₁)} сходится кнаперед заданному числу B.

Пример .f(z)=e^1/z точкаz=0 - существенно особая.

Важное замечаниеВ окрестноститочки ветвления инеизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана!

2. Еще раз о бесконечно удаленной точке.

Определение.Точкаz=является изолированной особой точкой функцииf(z)еслиR>0:f(z)не имеет особых точек при R<|z|<.

Т.к. f(z)C^( R<|z|<), топри R<|z|<.

Возможны три случая:

Название особой точки		Коэффициенты ряда Лорана	Главная часть ряда Лорана
Устранимая особая точка	 конечный предел	,n>0	отсутствует
Полюс порядка m	, но 	,n>m	Содержит не более mчленов
Существенно особая точка	не существует	 N>0n>N:	Содержит бесконечно много членов

Полезно помнить, что преобразование переводит точкув, характер же особой точки при таком преобразовании не меняется.

Примеры:Классифицировать особые точки, включая z=

1. z=0 полюс 1-го порядка,z=i- полюс третьего порядка, z=устранимая особая точка.

2. z=0 существенно особая точка, z=устранимая особая точка.

3. z_k=kполюса 1-го порядка, z=точка сгущения полюсов – неизолированная особая точка.

4. z_k=kполюса 2-го порядкаk0, z=0 – устранимая особая точка, z=точка сгущения полюсов – неизолированная особая точка.

2