Используя условия к-р в декартовых координатах, имеем

Выражаем частные производные в декартовых координатах

Запишем выражение для производной в полярных координатах

3) f(z)=R(x,y)e^i(x,y) :

R_x=R_y, R_y=-R_x

3. Сумма, разность и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля.

Приведем доказательство лишь одного из этих однотипных утверждений. Пусть , что эквивалентнои, тогда.

Доказательство:

Частные производные действительной и мнимой частей произведения существуют и непрерывны, например:

,

,

,

.

Условия К-Р:

и

.

5) Если w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)C^(g) и (область ее значений G) и

= (w)=p(u,v)+iq(u,v)C^(G), то сложная функция F(z)=[f(z)]C^(g) -аналитическая функция комплексной переменной z в области g.

Доказательство.

Если выполнены необходимые и достаточные условия аналитичности для и:, тогда для сложной функции

иони так же выполнены.

6) Пусть w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)C^(g) и f'(z₀)0, z₀g. Тогда в окрестности точки w₀=f(z₀) определена обратная аналитическая функция z=(w)C^(|w-w₀|<), отображающая эту окрестность на окрестность точки z₀, причем '(w₀)=1/.

Доказательство. u=u(x,y), v=v(x,y)

=u_xv_y-u_yv_x=u_x²+v_x²=|f'(z₀) ²|0.

(якобиан преобразования отличен от нуля).

z=(w); .

7) Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана гармоническая функция u(x,y) и известно, что она является действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной.

Доказательство. По известной функции u(x,y) определяем ее частные производные. Из условий Коши-Римана получим дифференциальные уравнения для мнимой части, из которых она находится с точностью до аддитивной постоянной. 

Аналогично по известной мнимой части можно определить реальную часть аналитической функции.

8) Линии уровня действительной и мнимой части аналитической функции ортогональны в любой точке.

Доказательство. Ортогональность кривых линий  ортогональность их нормалей. Нормаль к линии уровня – градиент функции.

grad u=(u_x,u_y), grad v=(v_x,v_y),

Составим скалярное произведение (grad u, grad v)=u_xv_x+ u_yv_y=- u_y v_y+ u_y v_y=0.

На рисунках изображены линии уровня действительной и мнимой части функции

Дополнение: «О пользе полярных координат».

Для справки, оператор Лапласа в полярных координатах выглядит так (см. упражнение 10.168 из стандартного задачника за прошлый семестр).

Рассмотрим функцию . Покажем, что она может являться действительной частью аналитической функции.

Откуда

.

Используя условия К-Р, восстановим мнимую часть аналитической функции .

Попробуйте доказать гармоничность , восстановить аналитическую функцию в декартовых координатах!

§5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости. 1. Вспомогательные положения.

1. Кусочно-гладкая кривая-

{z: z=z(t)=x(t)+iy(t), где t [a,b]}

x(t), y(t)  C[a,b]; x'(t), y'(t) -кусочно- непрерывные на [a,b]; x'²(t)+y'²(t) 0 - нет точек возврата, нет самопересечений.

Если x(a)=x(b), y(a)=y(b), то кривая замкнута.

z0, z1,…, zn – точки разбиения кривой C zn=zn-zn-1 -частичная сумма - произвольная точкаi-ой дуги.

Определение. Если при существует предел частичных сумм, не зависящий ни от способа разбиения кривойC, ни от выбора точек , то этот предел называется иинтегралом от функции комплексной переменной f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по кривой C

.

f(z) z = [u(x,y)+iv(x,y)] (x+iy)= ux-vy +i [ vx+uy]

.

Действительная и мнимая части есть интегральные суммы криволинейных действительных интегралов второго рода

и.

Замечания.1) Достаточное условие существования криволинейных интегралов второго рода, а тем самым и интеграла по комплексной переменной, является кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|. => Интеграл по комплексной переменной существует и для неаналитической функции.

2) +i. Это соотношение иногда принимают за определение интеграла по комплексной переменной.

2. Свойства немедленно вытекают из соответствующих свойств криволинейных интегралов.

=-.

2) +=-аддитивность.

3) Линейность

=+.

4) (неравенство треугольника)

Если иL - длина кривойC, то.

5) Имеет место формула замены переменной

,

здесь - аналитическая функция, устанавливающая взаимнооднозначное соответствие между кривымиCи.

Пример.,

,

- результат не зависит ни от, ни отz₀ !!!