Сложение двух комплексных чисел можно рассматривать как сложение двух векторов на плоскости. При этом выполнено: Неравенство треугольника

z₁+z₂z₁+z₂.

В частности x+iyx+y

z₁-z₂-расстояниемеждуz₁ иz₂на комплексной плоскости.

Простейшие множества точек на комплексной плоскости.

а) |z-z₀|=a (a>0)- окружность с центром в точке z₀радиусаa;

б) |z-z₀|<a (a>0)- открытый круг с центром в точке z₀радиусаa;

в) |z-z₀|>a (a>0) - внешность открытого круг с центром в точке z₀радиусаa;

г) a<|z-z₀ |<b (0<a<b)- открытое кольцо с центром в точкеz₀;

д) arg(z-z₀)=- луч, с началом в точкеz₀ , идущий под угломк положительному направлению действительной оси.

е) <arg(z-z₀)<- внутренность неограниченного открытого сектора с вершиной в точкеz₀ и углом раствора-.

ж) Re z= a- прямая, || мнимой оси, проходящая через точку (a,0);

з) Im z= b- прямая, || действительной оси, проходящая через точку (0,b);

При умножениидвух комплексных чисел ихмодули перемножаются(растяжение или сжатие), ааргументы складываются(поворот на плоскости).

При делениидвух комплексных чисел ихмодули делятся(модуль знаменателя0), ааргументы вычитаются

Алгебраической формой записи комплексных чисел удобно пользоваться при операциях сложения и вычитания, а показательной- при умножении, делении, возведении в целую степень, извлечении целого корня (возведение в рациональную степень).

Возведение в целую степень.

zⁿ=[(cos+isin)]ⁿ=[e^i ]ⁿ=ⁿe^in=ⁿ(cos(n)+isin(n));

Мы вывели

Формулу Муавра: (cos+isin)ⁿ = cos(n)+isin(n).

Примеры:

1. (1+i)³=(2^1/2 e^{i /4})³=2^3/2 e^{i3 /4}=2^3/2(cos(3 /4)+i sin(3 /4))=-2+2i.

2. 

3. Найти все решения уравнения .

Извлечение целого корня (возведение в рациональную степень).

z ⁿ=e^i=e^{i( +2 k)}, k=0, 1, 2... .

z =^1/ne^{i( +2 k)/n}.

=> корень n-ой степени имеетnразличных значений, которые получаются приk=0, 1, 2...,n-1.

Примеры:

1. =1 e^{i(0+2 k)/4}=

2. 

2. Последовательности комплексных чисел.

Определение.Последовательностью комплексных чиселназывают упорядоченное счетное множество комплексных чисел {z_n}

Определение.Комплексное числоzназываетсяпределом последовательности{z_n}, если для>0N():z_n-z<дляn> N.

{z_n}z; z_n=z.

Примеры.

а) z/n=0;

б) arg[(-1)ⁿ/n] не,

arg[(-1)ⁿ/n]=0 при четных n,

arg[(-1)ⁿ/n]=при нечетных n.

Задание комплексной последовательности z_n=x_n+iy_n: {z_n}={x_n}+i{y_n}- одновременное задание двух действительных последовательностей.

Теорема 1.1.Необходимым и достаточным условием {z_n}z=x+iyявляется требование{x_n}x; {y_n}y

Доказательство.Необходимость.

>0 N():z_n-z<дляn >N

x_n-xz_n-z<,y_n-yz_n-z<{x_n}x, {y_n}y.

Достаточность.

 >0 N₁():x_n-x</2 дляn>N₁,

 N₂():y_n-y</2 дляn>N₂ 

 N=max{N₁,N₂}:z_n-zx_n-x+y_n-y<дляn> N.

Определение.Последовательность {z_n} называетсяограниченной, еслиAReal:nz_n<A.

Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Критерий Коши. Необходимым и достаточным условием сходимости {z_n} z является требование, чтобы для >0N():z_n+m-z_n<дляn>N иm>0.

Доказательство.

Необходимость.

{z_n} z(z_n=x_n+iy_n){x_n} xи {y_n} y

  >0 и m>0N₁():x_n+m-x_n</2 дляn>N₁()

и N₂():y_n+m-y_n</2 дляn>N₂().

 N()= max{N₁,N₂}:z_n+m-z_n<дляn>N()

Достаточность.z_n+m-z_n<дляn>N()x_n+m-x_n,y_n+m-y_nz_n+m-z_n<{x_n} x и {y_n} y

Неограниченно возрастающие последовательности.

Определение.Если дляA>0N(A):z_n>A дляn>N(A), то последовательность {z_n} называетсянеограниченно возрастающей.

Примеры.а)z_n=zⁿпри |z|>1; б)z_n=in.

В обычном смысле неограниченные последовательности не сходятся, но оказывается удобным считать, что существует единственная бесконечно удаленная точкакомплексной плоскости. Все неограниченно возрастающие последовательности сходятсяк этой единственной точке

z_n= z_=.

{_n=1/z_n}0

1/ z_=0, 1/0=, z=( z0), z+=, z/=0 (z. Операции 0/0 и/являются неопределенными.