3. Направление обхода замкнутого контура.

Поскольку значение интеграла по замкнутому контуру зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контурапринимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остаетсяслеваот направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символомили просто, интегрирование в отрицательном направлении - символом.

§ 6. Теорема Коши.

1. Вспомогательные положения.

Формула Грина. Пусть P(x,y), Q(x,y) C(),g – кусочно-гладкий контур и P_x, P_y, Q_x, Q_y C(g), тогда

.

2. Теорема Коши. Случай многосвязной области.

Определение. Область называется односвязной, если  две точки ее границы можно соединить непрерывной кривой, полностью принадлежащей границе области. В противном случае область называется многосвязной.

Теорема Коши. Если f(z)C^(g), в односвязной области g, то для замкнутого контура C g

.

Доказательство.

=(формула Грина)=

= (-v_x-u_y)dxdy+i(u_x-v_y)dxdy=(условия Коши-Римана)=

= (u_y-u_y)dxdy+i(v_y-v_y)dxdy=0. 

Замечание.1) Требование односвязности области является существенным!

g = {z: 1<|z|<3} f(z)=1/zC^(g).

.

Определение Функция называется аналитической в замкнутой области f(z)C^(), еслиf(z)C^(g). и f(z)C().

Теорема Коши (вторая формулировка). Если f(z)C^(), g-односвязная, то.

Теорема Коши для многосвязной области. Пусть f(z)C^(), g-многосвязная, ограниченная извне контуромC₀, а изнутри контурами C₁, C₂,...,C_n . Тогда .

g= C₀C₁C₂...C_n

Доказательство. Проведем гладкие кривые 1,2,...,n, соединяющие контур C0 с контурами C1, C2,...,Cn и не пересекающиеся между собой. Тогда область, ограниченная кривыми C0,C1,C2,...,Cn и кривыми 1,2,...,n, проходимыми дважды в противоположных направлениях

окажется односвязной => интеграл по границе этой области равен 0. Но интегралы по вспомогательным кривым ₁,₂,...,_n проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают.

• .

3. Неопределенный интеграл функции комплексной переменной.

Если g- односвязная и f(z)C^(g), то для z₁, z₂g не зависит от пути интегрирования Т.о. при фиксированномz₀ интеграл - функция толькоz!

Определение. Пусть g-односвязная область, f(z)C(g) (не обязательно аналитическая!) и для  замкнутого контура g =0. Функция- называетсянеопределенным интегралом от f(z).

Теорема 6.1.

Пусть g-односвязная, f(z)C(g) и для  замкнутого контура g , тогда,F(z)C^(g) и .

Доказательство.

В силу длязамкнутого контуране зависит от пути интегрирования => можем взять отрезок прямой, соединяющий точкиz иz

В силу непрерывности f(z) правая часть неравенства может быть сделана меньше<0 для=>

.

Т.о. F(z) – неопределенный интеграл от функции комплексного переменногоf(z).

И F(z)– аналитическая, т.к. ее производная по условию теоремы непрерывна.

§ 7. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши.

1. Интегральная формула Коши.

Пусть f(z) C^(). Выразимf(z₀) (z₀g) через значения f(z) на g.

(z)=f(z)/(z-z₀)  C^(/z₀).

Возьмем в области g произвольный такой замкнутый контур  : z₀  . (z)C^(g^*) (g^* - многосвязная область между g и ).

По теореме Коши для многосвязной области

: = z₀+e ^i, d = i e ^i d

В силу произвольности можем0.

f(z) C^()=> >0  : |f()-f(z₀)|<  как только |-z₀|< (!) =>



Т.о. или

-интеграл Коши

Замечания.

1. Формула верна как для g односвязной, так и g- многосвязной, только в последнем случае ⁺- полная граница области, проходимая в положительном направлении.

2. Интеграл Коши имеет смысл для  взаимного расположения точки z₀ и замкнутого контура  (не проходящего через z₀) в области аналитичности f(z)