§22. Единственность определения аналитической функции.

1. Понятие правильной точки.

Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.

Точка z₀g называетсяправильной точкойфункцииf(z), заданной в g, еслив круге |z-z₀|<(z₀), где(z₀)>0 - радиус сходимости степенного ряда.

Все остальные точки zg-особые точки функцииf(z), заданной в g.

Замечание. Еслиf(z)C^(g), то всеzg-правильные точкиf(z). Еслиf(z) задана в, то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми.

2. Нули аналитической функции.

Определение.Пустьf(z)C^(g);f(z₀)=0,z₀g, тогдаz₀-нуль аналитической функции.С₀=0. В этом случае

Если C₁=…=C_n-1=0, аC_n0, тоz₀-нуль n-того порядка. В этом случае

Заметим, что в нуле n-того порядкаf(z₀) =f ' (z₀)=… =f^(n-1)(z₀) = 0,f⁽ⁿ⁾(z₀)0 иf(z)=(z-z₀)ⁿf₁(z), гдеf₁(z₀)0.

Если C_n=0n, тоf(z)0.

Примеры.

1. Точкаz=0 - нуль первого порядка.

2. Точкаz=0 - нуль второго порядка.

3. Точка- ноль третьего порядка

4. Точка- ноль второго порядка

Теорема о нулях аналитической функции.

Пустьf(z)C^(g) и: (z_iz_k, всеz_ng иf(z_n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения)ag (z_n=ag). Тогдаf(z)0, дляzg.

Доказательство.

Т.к. ag, то причем радиус сходимости этого степенного рядаR₀не меньше расстояния отaдоg.

f(z)C^(g)=> по непрерывностиf(a)=0 =>С₀=0, т.о.

Новая функция f₁(z) отличается от исходной одним множителем(z-a)=> имеет те же нули, что иf(z). По непрерывностиf₁(a)=0 =>С₁=0.

Продолжая в том же духе, получим C_n=0n. Это означает, чтоf(z)0z: |z-a|<R₀

_­Докажем, чтоf(z₁)0, дляz₁g.

Соединим z1 иaкусочно-гладкой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от ее границыg на расстояниеd>0.

Поскольку z: |z-a|<R₀можно рассматривать, как предел последовательности нулейf(z),то в качестве нового центра разложения можем выбрать точкуz=a₁– точку пересечения кривойLс окружностью |z-a|=R_0­.Проведя аналогичные рассуждения, получим, чтоf(z)0z: |z-a₁|<R₁, гдеR₁d. Продолжая рассуждать подобным образом, покроем всю кривуюLкругами, внутри которыхf(z)0. При этом точкаz₁попадет внутрь последнего круга и тем самымf(z₁)=0.

Следствие.f(z)C^(g) внутри любой замкнутой подобластиможет иметь лишь конечное число нулей, иначе .

Пример.sin (1/z) )C^(g/0) имеет в конечной замкнутой области бесконечное число нулей {z_n=1/n}0. Что не противоречит теореме, т.к. в z=0 нарушается аналитичность.

3. Теорема единственности определенной аналитической функции.

Теорема 22.1. Еслиf₁(z) иf₂(z)C^(g) и{z_n}ag, (z_iz_k) иf₁(z_n)=f₂(z_n), тоf₁(z)f₂(z) дляzg. Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функцияh(z)=f₁(z)-f₂(z)0 в g.

Следствия теоремы единственности.

В области gможет существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на

a) {z_n}ag, (z_iz_k) сходящейся последовательности различных точек.

b g, кусочно-гладкой кривой.

c) zg'g в произвольной подобласти области g.

Т.е. с этих множеств функцию f(z) можно аналитически продолжить, причем единственным способом.

На этом факте основано продолжение элементарных функций с действительной оси. В самом начале курса мы формально вели элементарные функции комплексного переменного (expz, sinz, cosz…) совпадение обозначений которых с функциями, заданными на действительной оси могло оказаться чистой случайностью.

Однако мы получили разложения в степенные ряды функций комплексного переменного

,

Эти ряды на действительной оси z=xсовпадают с рядами Тейлора для элементарных функций действительного переменного, полученными в курсе анализа функций действительных переменных. Т.о. элементарные функции комплексного переменного совпадают со своими аналогами на действительной оси (или отрезках действительной оси). Поэтому мы можем утверждать, что их аналитическое продолжение на комплексную плоскость единственно, согласно теореме единственности (случай b – функции совпадают на кусочно-гладкой кривой).

Продолжение соотношений типа c действительной оси также единственно, как продолжение функции.

Теорема 22.2. На границе круга сходимости степенного рядалежит хотя бы одна особая точка аналитической функции.

Доказательство(от противного) Если бы все точки границы были бы правильными, то : |-z0|=R- граница круга сходимости ()>0:z|-z|<(), т.е. задана строго положительная функция() Докажем, что для этой функции в любых двух точках границы круга сходимости выполнено неравенство: .

Предположив, что это неравенство не выполнено, получим, например,

,

но тогда круг лежит целиком внутри круга

Тогда степенные ряды с центром разложения в точках исовпадают в общей части кругов сходимостиии т.о. в силу единственности аналитического продолжения радиус круга сходимости рядабольше, чем. Это противоречие и доказывает неравенство

.

Т.о. вещественнозначная функция - равномерно непрерывна на окружности |-z₀|=R, и в силу ограниченности достигает своей нижней грани. Т.е.₀:, т.е.₀- особая точка на границе круга сходимости.

заметим, что часть этого круга лежит вне круга сходимости исходного степенного ряда.

Следствие.Радиус сходимости степенного ряды аналитической функции равен расстоянию от центра разложения до ближайшей особой точки. Это можно использовать для определения радиуса сходимости, например, ряды

Центр разложения z=0, ближайшая особая точкаz=-1 – точка ветвления функции.