§15. Степенные ряды.

Определение.Степенным рядомназовем ряд видаc_n(z-z₀)ⁿ,z₀-центр,c_n- коэффициенты - заданные комплексные числа. Приz= z₀ряд очевидно сходится. Это может быть единственная точка сходимостиn!zⁿ, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскостиzⁿ/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентовc_n.

1. Теорема Абеля.

Теорема Абеля.Если степенной рядc_n(z-z₀)ⁿсходится в точкеz₁z₀, то он абсолютно сходится и приz: |z-z₀|<|z₁-z₀|, причем в замкнутом круге

|z-z₀|<|z₁-z₀| сходится равномерно.Доказательство.Выберем произвольную точкуz: |z-z₀|<|z₁-z₀|. В силу необходимого условия сходимости рядаA>0 : дляn|c_n(z₁-z₀)ⁿ|<A

 |c_n|<A/|z₁-z₀|ⁿ |c_n(z-z₀)ⁿ|<A|(z-z₀)/(z₁-z₀)|ⁿ.

Но |(z-z₀)/(z₁-z₀)|=q(z)<1|c_n(z-z₀)ⁿ|<Aqⁿряд мажорируется бесконечно убывающей геометрической прогрессиейсходится абсолютно.

При |z-z₀|<|z₁-z₀| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса т.к. |c_n(z-z₀)ⁿ|A|/(z₁-z₀)|ⁿ(мажорирующий ряд числовой!)

Следствия теоремы Абеля. 1. Если степенной рядрасходитсяв точкеz₂z₀, то онрасходитсяи приz: |z-z₀|>|z₂-z₀|. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится вкруге радиуса<|z-z₀|, в частности и в точкеz₂, что противоречит условию.). 2.Круг сходимости.Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z₁-z₀|=R дляz₁, где ряд сходится - точную верхнюю грань расстояний от точкиz₀до точекz₁, в которых сходится рядc_n(z-z₀)ⁿ.

Если R, то дляz₂: |z₂-z₀|>R ряд расходится.R=inf|z₂-z₀|=R дляz₂, где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z₀|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0 -радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне - расходится, в точках границы |z-z₀|=R может как сходиться, так и расходиться.

3.Формула Коши-Адамара.

R=1/L,L=

Доказательство.

Применяем радикальный признак Коши

Пусть сначала 0<L<,

Тогда ряд сходится при

Если L=0, то

т.о. члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно ряд сходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

Если L=, то

т.о. существует бесконечно много членов ряда, больших 1, т.о. не выполнен необходимый признак сходимости рядов, т.е. ряд рассходится , и формально можно записать для радиуса сходимости

4. В круге |z-z₀|<R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрассаc_n(z-z₀)ⁿ=f(z)C^(|z-z₀|<R).

5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется!

6. c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)c₀=f(z₀),c_n+1(n+1)(z-z₀)ⁿ=f '(z)c₁=f '(z₀)…c_n+k(n+k)!(z-z₀)ⁿ=f^(k)(z)c_k=f^(k)(z₀)/k!

7. Пример.:c_n=1R=1.

S_n=[1-(z-z₀)ⁿ⁺¹]/[1-(z-z₀)]; |z-z₀|<1

=1/[1-(z-z₀)].=1/[1-(z-z₀)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.

8. Сходимость ряда на границе требует дополнительного исследования

1. по формуле Коши-АдамараR=1, на границе круга сходимости нет, т.к. модуль членов ряда не убывает ни для какихz.

2. по формуле Коши-АдамараR=1, в некоторых точках границы круга ряд сходится (z=-1), а в других расходится (z=1),.

3. по формуле Коши-АдамараR=1, на границе круга ряд сходится, т.к. мажорируется сходящимся.

9. Вторая теорема Абеля. Если степенной ряд сходится и на границе круга сходимости, то сходимость равномерная внутри всего замкнутого круга сходимости.

(очевидность следует из мажорантного признака Вейерштрасса)

Итак c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)C^(|z-z₀|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?

Ответ на этот вопрос дает

2. Теорема Тейлора.

Теорема Тейлора. Еслиf(z)C^(|z-z₀|<R), тостепенной ряд

c_n(z-z₀)ⁿ=>f(z) при |z-z₀|<R.

Доказательство. Возьмемz: |z-z₀|<R и построим C_ - окружность радиусас центром в точкеz₀и содержащую точкуzвнутри: дляC_: |-z₀|=,<R, |-z₀|>|z-z₀|.

Т.к. f(z)C^(|z-z₀|<), то по интегральной формуле Коши

;

Преобразуем подынтегральное выражение

Мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, ведь |z-z₀|/|-z₀|<1.

 C_ ряд сходится равномерно потак как мажорируется сходящимся числовым рядом

f(z)=;

c_n==f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!, что и доказываети единственность разложения.

 Замечания1) Разложение функцииf(z)=c_n(z-z₀)ⁿ называютразложением функции в ряд Тейлора.

2) По теореме Коши c_n=, где C - произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точкуz₀, целиком лежащий в области аналитичности функции.

Пример.

;…



.

3. Ряды Тейлора элементарных функций.

1. (Воспользоваться k C_k=1/k!)

2. (Воспользоваться )

3. (Воспользоваться )

4. ,(Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии)

5. (Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии ,ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

6. (Воспользоваться тем, что производная данной функции может быть представлена суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии ,ряд для исходной функции получается почленным интегрированием ряда для производной)

7. 



 k

В частности, при =0.5