2. Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса(достаточный признак равномерной сходимости). Если |u_k(z)|<a_k,a_k>0 дляk>N иzg иa_k сходится, тоu_k(z)=>f(z)в g.Доказательство.

a_k сходится =>>0N():<дляn>N()

для n>N() иzg.

Примеры.

1. 

2. Для ряда не существует мажорирующего сходящегося ряда, так как, а ряд- расходится. Но, как было показано выше, этот ряд сходится равномерно. Т.о. признак Вейерштрасса лишь достаточный, но не необходимый признак равномерной сходимости.

3. (оценить сверху значением функции в ее максимуме)

4. (оценить сначала , а оставшееся значением функции в ее максимуме при )

5. ()

6. Критерий Коши(необходимое и достаточное условие равномерной сходимости).

Если для >0N(): |S_n+m(z)-S_n(z)| <дляn>N() иm>0 иz одновременно, то рядu_k(z)=>f(z).Доказательство.Необходимость.

Пусть u_k(z)=>f(z)>0N(): |f(z)-S_n(z)| </2 дляn>N() иzg => и |f(z)-S_n+m(z)|</2 => =>|S_n+m(z)-S_n(z)|<дляn>N иm>0 иzg.Достаточность. Пусть для>0N(): |S_n+m(z)-S_n(z)| <дляn>Nиm>0 иzg=>сходится вzg, т.о. в g определенаf(z)=.

для n>N() иzg=> |r_n(z)|<дляn>N() иzg.

Признак Дирихле (для функций действительного переменного).Если частичные суммы функционального рядаравномерно ограничены, а последовательность функциймонотонно не возрастаяравномерностремится к 0 при, то функциональный ряд

сходится равномерно на.

Доказательство.

При сформулированных выше условиях , т.е., и. Тогда (опуская для краткости зависимость отx), используя неравенство Абеля и дословно повторяя рассуждения доказательства признака Дирихле сходимости числовых рядов, получим:

.

Т.о. при требованиях теоремы для функционального ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости.

Пример.

Функциональный ряд сходится для любых значений. Он составлен из произведенийи. Частичные суммы первой последовательностии привыполнены неравенстваииз указанного диапазона. Вторая последовательностьмонотонно не возрастая и равномерно (нет зависимости отx) стремится к 0. Т.о. в указанном диапазоне ряд сходится равномерно.

На все числовой прямой равномерной сходимости нет. Воспользуемся критерием Коши. Пусть ,и

Модуль можно снять, так как при указанном аргументы всехлежат от 1 до 2 и их значения положительны и не меньше.

3. Свойства равномерно сходящихся рядов.Свойства равномерно сходящихся рядов:Теорема 14.1.(непрерывность суммы) Пустьu_k(z)С(g) иu_k(z)=>f(z),тогдаf(z)С(g).Доказательство.

u_k(z)=>f(z) одновременно выполнены неравенства

|f(z+z)-S_n(z+z)|</3 и |f(z)-S_n(z)|</3 для>0.

u_k(z)С(g)для>0 иN>0:

при |z|<

 |f|=|f(z+z)-f(z)|

|f(z+z)-S_n(z+z)|+|S_n(z+z)-S_n(z)|+|S_n(z)-f(z)|

/3+/3+/3=для |z|<,n>N.

Примеры

1. Ряд из непрерывных функций сходится к разрывной функции, значит сходимость неравномерная

2. аналогично

Теорема 14.2. (возможность почленного интегрирования). Пустьu_k(z)С(g) иu_k(z)=>f(z),кусочно- гладкий контурg конечной длины L. Тогда.

Доказательство

∑u_k(z)=>f(z) 

для >0N(): |r_n(z)|</L дляn>N()

=<=

Замечание.Эти два свойства равномерно сходящихся рядов с комплексными членами совершенно аналогичны свойствам равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами.

Примеры.

1. Найти , если

2. Является ли непрерывной функция

3. 

4. 

5. 

Теорема Вейерштрасса. Еслиu_k(z)C^(g) иu_k(z)=>f(z)в любойзамкнутой подобласти области g то:

1. f(z)C^(g).

2. , дляzg.

3. z .

Доказательство1. Рассмотрим произвольнуюz₀g и построим односвязную:z₀, в силуТеоремы 14.1f(z)С(g).

Рассмотрим произвольный контур . ПоТеореме 14.2 .

Т.о. для f(z)выполнены все условияТеоремы Морера f(z)C^(). В силу произвольности f(z)C^(g).

Замечание.Т.к.r_n(z)=f(z)-S_n(z)r_n(z)C^(g).

2. Рассмотрим произвольную z₀g и произвольный контурg. Обозначим.

дляz, т.к.

По Теореме 14.2это равенство можно проинтегрировать почленно

По Теореме 8.1.

.

В силу произвольности z₀утверждение 2 доказано.

Замечание.r_n^(p)(z)=f^(p)(z)-S_n^(p)(z)=.

3. Рассмотрим и- замкнутый контур:g иzи|z-|d>0.

r_n(z)C^(g)дляz.

u_k(z)=>f(z)>0N():, где L- длина.

Тогда .

Т.о. получена равномерная оценка для остатка ряда для производных .

Пример. Рядz^k/k²сходится равномерно в круге |z|1, а ряд из производныхz^k-1/kне может равномерно сходится в этом круге, т.к. он расходится при z=1. Рядz^k-1/k равномерно сходится при |z|<1.

Для равномерно сходящихся функциональных рядов с действительными членами верна

Теорема 14.3.Пустьu_k(x)– непрерывно дифференцируемы на отрезке [a,b] и ряд, составленный из производных- равномерно сходится на отрезке [a,b], тогда если рядсходится хотя бы в одной точкеc[a,b], то он равномерно сходится на всем отрезке [a,b], его сумманепрерывно дифференцируема и.

Доказательство.

Пусть (непрерывна в силу равномерной сходимости ряда).

Найдем первообразную

для. Рядсходится по условию теоремытоже сходится на всем промежутке.

Левая часть равенства имеет производную по xS(x)=(x) и

сходится равномерно, т.к. первый ряд справа сходится равномерно, а второй не зависит отx.

Примеры.

1. Равномерно сходящийся на всей действительной оси ряд дифференцировать нельзя, так как ряд из производныхрасходится, например приx=0.

2. (1+1+1+1+…)=0+0+0+0+… Ряд, полученный в результате формального дифференцирования, сходится и даже равномерно, но дифференцирование не правомерно, т.к. исходный ряд расходится.

3. почленное дифференцирование возможно в силу равномерной сходимости ряда из производных.