§1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел.

1. Понятие комплексного числа

Определение.Комплексным числом называется пара действительных чисел с установленным порядком следованияz=(x,y),

x=Re(z)-действительная частькомплексного числа,

y=Im(z)- мнимая часть.

Действительные числа включаются в множество комплексных чисел.

Примеры:x=(x,0) - вещественное число, (0,y) - чисто мнимое число,

(0,1)=i - мнимая единица.

0=(0,0), -1=(-1,0), -i=(0,-1).

Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости.

Действия с комплексными числами:

1. Равенство.z₁=z₂x₁=x₂,y₁=y₂.

Операция сравнения не определена!!!

2. Сложение.z₁+z₂=(x₁+x₂,y₁+y₂)

(x,0)+(0,y)=(x,y) – всякое комплексное однозначно разлагается на сумму чисто действительного и чисто мнимого чисел.

3. Умножение. .

yi=(y,0)(0,1)=(0,y).

 алгебраическая форма записи комплексного числа

z =(x,0)+(0,y)= x + iy = Re(z) + iIm(z).

Пример:ii=-1

 алгебраические операции с комплексными числами можно совершать, как с обычными многочленами, помня, что i²=-1.

Договоримся, всякий ответ доводить до алгебраической формызаписи комплексного числа, если не оговорено обратное.

4. Комплексное сопряжение(обозначается либо, либо)

z=(x, y)=x + iy; z^* == (x, -y) = x - iy.

Полезно: Re(z) = (z+) / 2; Im(z) = (z-) / 2i.

Некоторые свойства.

1. ;

2. (z^*)^*=z;

3. z = (x + iy)(x - iy) = x² + y²Real

4. 

Обратные операции.

5) Вычитание.z₁-z₂= (x₁-x₂,y₁-y₂).

6. Деление

Примеры. (2+i)/(1+2i)= (2+i)(1-2i)/(1+4)=0.8-0.6i;

1/i= -i.

7) Возведение в целую степень.

Примеры:

a) i²= -1;

б)в)z²= (x+iy)²=x²+ 2ixy-y²= (x²-y²) +i 2xy; Re(z²)=(x²-y²), Im(z²) = 2xy.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

z= (x,y) =x+iyточка плоскости (x,y). Комплексная плоскость:

Ось абсцисс Re(z)0,Im(z)0 - действительная ось

Ось ординат Im(z)0,Re(z)0 - мнимая ось

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа.

Перейдя на комплексной плоскости к полярным координатам

(x,y) <=> (,), гдеx=cos,y=sin, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа z=(cos+isin)

Здесь =(x²+y²)^1/2=z=((Rez)²+(Imz)²)^1/2-модуль комплексного числа,

tg =y/x; =₀+2k-аргумент комплексного числа (определяется неоднозначно!). В ТФКП, если нужно перечислить ВСЕ значения многозначной величины, используют обозначение величины, начинающееся с заглавной буквы, например,. Обозначение многозначной величины, начинающееся со строчной буквы, используют для выделенияглавного значениямногозначной величины.

Arg z=argz+2k, -< argz(иногда также полагают 0argz<2, что вовсе не принципиально лишь бы границы изменения были бы 2).

Если главное значение аргумента заключено в пределах -< argz, то для него справедлива следующая формула, связывающаяс действительной и мнимой частью комплексного числа,

Для комплексного числа 0=(0,0) модуль равен 0, а аргумент не определен.

Тригонометрическую и показательную форму записи комплексного числа связывает формула Эйлера

z=(cos+isin)=e^i

Эта формула по сути является определением экспоненты в мнимой степени (ее не нужно доказывать).

Примеры

1. z=1: |1|=1, arg 1=0; 1=1(cos 0 +i sin 0)= 1eⁱ⁰;

2. z=i: |i|=1, arg i= /2; i=1(cos  /2 +i sin  /2)= 1e^{i /2};

3. z=-1: |-1|=1, arg (-1)=  ; -1=1(cos  +i sin  )= 1e^i ;

4. z=-i: |-i|=1, arg (-i)= 3 /2; -i=1(cos 3 /2 +i sin 3 /2)= 1e^{i3 /2};

5. z=1+i: |1+i|=, arg (1+i)=  /4; 1+i= (cos  /4 +i sin  /4)= e^{i /4};

6. z=e^i; |e^i |=1, arg (e^i)=  ; e^i=1 (cos  +i sin  );

7. z=-e^i; |-e^i |=1, arg (-e^i)=  + ; -e^i=1 (cos( + ) +i sin( + ))=e^{i( + )}

8. ;;

(хотя в данном случае ответ легко получить, используя геометрическую интерпретацию числа, формула для , приведенная выше, весьма полезна)

Геометрическая интерпретация сложения и умножения.