§26. Вычисление несобственных интегралов I-го рода от функции действительной переменной с помощью вычетов.

1. Лемма1. Несобственные интегралы от быстро убывающих функций.

Лемма 1 Пусть f(z)C^(Imz>0\z₁,z₂,...,z_N) и |f(z)|<M/|z|^1+при |z|>R₀, >0. Тогда , где (C_R - полуокружность |z|=R Imz>0).

Доказательство. f(z)C^(|z|>R₀) и при R>R₀:

.

Замечание. Если условия леммы выполнены в каком-либо секторе ₁<argz<₂, то формула будет иметь место при интегрировании по дуге C_R окружности, лежащей в данном секторе.

Теорема 26.1. Пусть f(x) задана при -<x< и аналитическое продолжение f(z) на Imz0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы 26.1.

Тогда несобственный интеграл I-го рода Imz_n>0.

Доказательство.

При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур (-R<x<R)C_R{|z|=R Imz>0}. По основной теореме теории вычетов

Imz_n>0.

По Лемме 26.1 , правая часть не зависит от R 

Imz_n>0.

Замечания. 1. Если f(x) - четная (f(-x)=f(x)) и удовлетворяет условиям Теоремы 26.1, то

Imz_n>0.

2. Имеет место аналогичная теорема, когда аналитическое продолжение f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям, аналогичным условиям Леммы 26.1 для нижней полуплоскости.

Пример. 1. Особые точки аналитического продолжения подынтегральной функции, лежащие в верхней полуплоскости - полюса первого порядка. 2.

2. Лемма 2 (Лемма Жордана).

Лемма 26.2 (Лемма Жордана). Если f(z)C^(Imz>0\z₁,z₂,...,z_N) и f(z)=>0 при |z|(равномерно по argz Imz>0), то при Rea>0

C_R - полуокружность |z|=R Imz>0.

Доказательство .

Разъяснение f(z)=>0 при |z|  0 R: |f(z)|<R, |z|>R, причем R0 при R.

Заметим, что , при

Оценим подынтегральное выражение

, при .

На контуре интегрирования

Замечания.

1. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Imz<0, то при a<0 , C'_R - полуокружность |z|=R Imz<0.

2. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Rez>0, то при a=i(>0) , C"_R - полуокружность |z|=R Rez>0.

3. Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Rez<0, то при a=-i(>0) , C'"_R - полуокружность |z|=R Rez<0.

4. Лемма Жордана остается справедливой, когда f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана при Imz>y₀ (Rez>x₀; Imz<y₀; Rez<x₀), y₀ (x₀)- фиксированное число, которое может быть как >0, так и <0, а интегрирование производится по дуге полуокружности |z-iy₀|=R Imz>y₀ (|z-x₀|=R Imz>x₀; |z-iy₀|=R Imz<y₀; |z-x₀|=R Imz<x₀). Доказательство аналогично, но при оценке интеграла следует сделать замену =Re^i+iy₀ ( =Re^{i }+x₀).

Теорема 26.2 Пусть f(x) задана при -<x< и аналитическое продолжение f(z) на Imz>0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_k, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана . Тогда при a>0  Imz_k>0.

Доказательство. При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур (-R<x<R) C_R{|z|=R Imz>0}. По основной теореме теории вычетов Imz_k>0. Но, по Лемме Жордана , правая часть не зависит от R  Imz_k>0. 

Замечания.

1. К интегралам данного типа сводятся многие действительные интегралы, содержащие тригонометрические функции. Полезно помнить, что ,

2. Если a<0 и f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана в нижней полуплоскости, то  Imz_k<0. Знак меняется из-за изменения направления обхода контура C_R.

Примеры.

1.Вычислить интеграл

2. Вычислить интеграл

3. 

Лемма 2. Пусть f(z)C^(0<|z₀-z|<₀) и z₀ – полюс первого порядка, тогда , где (C_ - полуокружность |z|= и ₀<arg(z)< ₀+).

Доказательство.

Примеры.