§2. Понятие функции комплексной переменной.

1. Определение функции, понятие области.

Определение. Пусть на комплексной плоскости задано множество E и закон, ставящий  z E в соответствие определенное комплексное число w: zw, тогда говорят, что на E задана функция комплексной переменной f(z)=w. E-множество задания f(z);

Множество M - значений соответствующих w- множество значений f(z).

Определение. Областью g комплексной плоскости Z называется открытое связное множество точек:

1. Все точки области внутренние:  zg (z)  g

2.  z₁, z₂  g можно соединить кривой все точкой которой z g.

Примеры. а) |z|<1 - область; б) |z|1-не область; в) {z: |z|<1} {z: |z-5i|<1} не область;

Определение. Точка z₀ называется граничной точкой множества g, если в  ее  -окрестности имеются как z g, так и z g.

Примеры: а) z=0 - граничная точка множества |z|>0; б) z=i - граничная точка множества |z|1.

Совокупность граничных точек области g называется границей области g.

(обозначения: g, C,  ,  и т.д.)

Определение. Замыкание области , состоящее в присоединении к g ее границы называетсязамкнутой областью =g+g.

Определение. Расширенная комплексная плоскость = комплексная плоскость вместе с ее границей бесконечно удаленной точкой.

Определение. Если z₁, z₂  g и z₁z₂: f(z₁)=w₁w₂= f(z₂), то отображение взаимно однозначное g<=>D.

В этом случае g называется областью однолистности f(z) или f(z) называется однолистной в g. => Функция обратная к однолистной – однозначная.

При g<=>D в D  обратная функция z=(w), осуществляющая отображение D g.

z=x+iy f(z)=w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y)

Примеры функций комплексного переменного.

а) w=az+b, a0

Функция определена на расширенной комплексной плоскости, однозначная и однолистная. Она осуществляет поворот, растяжение (умножение) и параллельный перенос (сложение).

б) w=1/z. Функция определена на расширенной комплексной плоскости, однозначная и однолистная. Если , то. => Функция есть совокупность двух отображений 1) смена знака у аргумента (симметричное отражение относительно вещественной оси) и 2) замена модуля комплексного числа на обратную ему величину (инверсия относительно единичного круга).

в) w=z². Однозначная функция комплексного переменного. Если , то.=> Все точки z комплексной плоскости, лежащие на луче, составляющем угол  с положительным направлением действительной оси, переходят в точки w, лежащие на луче, составляющем угол 2 с той же осью. Поэтому точкам z и –z, аргументы которых отличаются на , переходят в одну и ту же точку.=> Обратная функция многозначна. Функция w=z² отображает верхнюю полуплоскость на всю комплексную плоскость.=> - область однолистности функции.

г) . Функция определена на расширенной комплексной плоскости, но не является однозначной. Каждому значениюz= e^{i( +2 k)} , отличному от 0 и , соответствует два различных значения и(одно в верхней и другое симметричное ему в нижней полуплоскости). Первая ветвь корня отображает полную комплексную плоскость на верхнюю полуплоскость, а вторая – на нижнюю. Точкиz=0 и z= (они отображаются однозначно в данном случае сами в себя) называются точками ветвления.