Лекции / семестр3 / Альшина (МП-2) / Примеры решения задач на ряды

Примеры решения задач на ряды.

Числовые ряды.

1. (сходится )

2. (сходится по Дирихле)

3. 

К исходному ряду признак Лейбница не применим из-за несоблюдения монотонности

Полученные два ряда сходятся, первый по Лейбницу, строй – по Дирихле.

4. 

К исходному ряду нельзя применить признак Дирихле из-за немонотонности. При общий член ряда не убывает, поэтому ряд расходится.

Первый и третий ряд сходятся по Дирихле , а второй сходится только для . Т.е. исходный ряд сходится только для p>0.5.

5. 

Нельзя применить признак сравнения, т.к. ряд знакочередующийся.

- сходится по Дирихле, а - монотонно возрастающая, ограниченная. Т.о. применим признак Абеля.

6. 

Последовательность - монотонна и ограничена, своим верхним пределом . Поэтому к исходному ряду применим признак Абеля, для чего необходимо доказать сначала сходимость ряда

Каждая из последовательностей и монотонна и ограничена, а каждый из рядов

и

сходится по Дирихле.

Т.о. ряд сходится по признаку Абеля.

Функциональные ряды.

7. сходится только при , иначе член ряда не убывает. Сходимость равномерная в силу мажорантного признака Вейерштрасса.

8. ряд сходится, причем равномерно в любом круге , т.к. мажорируется сходящимся числовым рядом . В силу произвольности r ряд сходится на всей комплексной плоскости. Но равномерной сходимости на всей комплексной плоскости нет, т.к. для -фиксированного и найдется такое , что . Это неравенство выполнено, т.к. в частности на действительной оси растет быстрее любой степенной функции, следовательно .

9. 

Найдем частичную сумму ряда . для . Для x=0 сумма ряда 0. Т.о. ряд из непрерывных функций сходится, но сходимость неравномерная, т.к. сумма ряда разрывна.

10. 

При - фиксированного при . Т.о. ряд сходится.

Для исследования равномерной сходимости применим критерий Коши. Пусть =1, p=n, , тогда

. Т.о. сходимость неравномерная.

11. 

Степенные ряды.

12. 

13. 

15. 

C=0, arcsin0=0

17. 

19. 

20. 

21.