3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядка

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка заключается в том, что решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка задается рекуррентной формулой следующего вида:

y_k+1= y_k+ (m₁+2*m₂+2*m₃+m₄ ) * h /6,

где m₁ = f (x_k, y_k); m₂ = f (x_k+ h/2, y_k+ m₁* h/2); m₃ = f (x_k+ h/2, y_k+ m₂* h/2); m₄ = f (x_k+ h, y_k+ m₃* h); k=0,1,2,... N-1.

Метод Рунге-Кутта значительно точнее метода Эйлера, но и программировать его сложнее, однако мощный аппарат формул электронной таблицы Microsoft Excel позволяет сравнительно просто организовать процесс вычисления.

Пусть в колонке А находятся границы отрезка [0,T]; в колонке В находится текущее значение переменной x; в колонке С вычисляется точное решение; в колонке H вычисляется значение численного решения задачи Коши методом Рунге-Кутта 4-го порядка; в ячейках D2-G2 записаны формулы для коэффициентов m₁-m₄.

	A	B	C	D	E	F	G	H
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Алгоритм

Шаг 1. Вводятся исходные данные: в ячейке A1- величина левой границы отрезка [0,T]; в ячейке A2 - величина правой границы отрезка [0,T]; в ячейке A4 - число точек N; в ячейке H1- начальное значение y_x.

Алгоритм

Шаг 2. Далее записываются соответствующие формулы:

A3: = (A2-A1)/A4; B1: = A1; B2: = A1+$A$3; C2: = точное решение;

D2: =m₁;E2: =m₂;F2: =m₃;G2: =m₄;H2: = пошаговое решение.

Алгоритм

Шаг 3. Записанные формулы распространяются на остальные ячейки.

Алгоритм вычисления значений решения задачи Коши реализован.

Порядок выполнения работы

4. Пользуясь математическими пакетами реализовать рекуррентные формулы для метода Эйлера и метода Рунге-Кутта для апериодического звена первого порядка (W(p)=1/(p+a) ).

5. Оценить точность решения в зависимости от шага квантования.

6. Оценить устойчивость методов.

Содержание отчета

1.Титульная страница: названия вуза, кафедры, дисциплины, лабораторной работы (с её порядковым номером); Ф.И.О. и группа студента, Ф.И.О. преподавателя, дата.

2.Краткое описание алгоритмов .

3.Результаты оценки точности решения в зависимости от шага квантования..

4.Выводы о целесообразности применения рассмотренных методов.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сравнительный анализ метода Эйлера и метода Рунге-Кутта.

2.Формирование таблиц Microsoft Excel дла реализации процесса вычисления.

Литература

1.Вычислительная математика: методические указания к лабораторным работам/Рязан.гос.радиотехн.ун-т; сост. А.Н. Кабанов, Рязань,2008.-48 с.

2.Метод псевдообращения в задачах управления: Методические указания к лабораторной работе. Сост. А.Н. Кабанов. Рязань,1997.-16c.

3.Исследование вычислительных алгоритмов: Методические указания к лабораторной работе. Сост. А.Н. Кабанов. Рязань,1998.-20c.

4. Вычислительная математика: методические указания к лабораторным работам/Рязан.гос.радиотехн.ун-т;сост.Ю.И.Малинин,Рязань,2008.-48 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

Метод Эйлера-Коши с итерациями для систем дифференциальных уравнений

(объем часов - 2)

Цель работы: Исследование численного метода решения системы дифференциальных уравнений.

В результате выполнения лабораторной работы студент:

должен знать :

1.Алгоритм решения задачи.

2.Формирование рекуррентных соотношений.

должен иметь представление о методах повышения оперативности решения задачи,

должен уметь оценивать точность методов .

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В общем случае система управления объектом описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений:

с начальными условиями:

.

а) Выбирается достаточно малый шаг h:

.

Тогда «нулевое» приближение к решению системы дифференциальных уравнений в точке t:

,

где .

б) Уточнение решения проводится методом итераций:

,

где k– номер итерации (k= 1,2,3…).

Проверяют условия окончания итерации:

, если

или

, если.

Если , то шагhделят пополам и все вычисления повторяют с пункта а).

Если неравенства выполняются, то принимается за решение.

Начинают вычисления для следующей точки:

с шагом h, который был выбран для предыдущей точки.

Если на трех подряд шагах величина hне изменяется, тоhудваивается до тех пор, пока не становится равнымh_нач., заданное в исходных данных.

Вычисления продолжают до конца интегрирования.