Построение псевдообратной матрицы на основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта.

1. Используя (10), определяем ортогональные векторы

;;

;.

Сравнивая нормы, принимаем решение, что второй вектор исходной матрицы является линейно зависящим от первого вектораи им можно пренебречь, т.е..

2. Таким образом, число независимых столбцов k=1.

Матрица перестановок .

3. ; .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Решение при «точных» данных

.

Решение при измененной правой части

,

т.е. полученные решения являются более устойчивыми по сравнению с теми, которые не используют псевдообращение матриц.

Порядок выполнения работы

1.В режиме обучения выполнить в демонстрационном режиме получение решения методом ГШО.

2.В режиме выполнения получить решение методом ГШО.

Содержание отчета

1. Краткое описание алгоритмов решения методом ГШО.

2.Результаты решения систем линейных алгебраических уравнений методом ГШО.

3.Сравнить численно устойчивость решения по сравнению с теми методами, которые не используют псевдообращение матриц.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы на основе метода ортогонализациГрамма-Шмидта.Ортогонализация столбцов матрицы,матрица перестановок.

2.Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы на основе метода ортогонализациГрамма-Шмидта. Демонстрационный пример из лабораторного практикума.

3. Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицы c комплексными числами на основе метода ортогонализациГрамма-Шмидта.Ортогонализация столбцов матрицы,матрица перестановок.

ЛИТЕРАТУРА

1.Вычислительная математика: методические указания к лабораторным работам/Рязан.гос.радиотехн.ун-т; сост. А.Н. Кабанов, Рязань,2008.-48 с.

2.Метод псевдообращения в задачах управления: Методические указания к лабораторной работе. Сост. А.Н. Кабанов. Рязань,1997.-16c.

3.Исследование вычислительных алгоритмов: Методические указания к лабораторной работе. Сост. А.Н. Кабанов. Рязань,1998.-20c.

4. Вычислительная математика: методические указания к лабораторным работам/Рязан.гос.радиотехн.ун-т;сост.Ю.И.Малинин,Рязань,2008.-48 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

Математические методы повышения устойчивости решения СЛАУ.Метод сингулярного разложения матрицы.

(количество часов -2 час. )

Цель работы: Теоретическое и практическое освоение с помощью ПЭВМ

алгоритма устойчивого решения систем линейных уравнений методом сингулярного разложения матрицы.

В результате выполнения лабораторной работы студент:

должен знать метод реализации алгоритма ,

должен иметь представление о реализации метода с помощью

пакета EXCEL.

должен уметь проверить достоверность решения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Построение псевдообратной матрицы для симметричной матрицы на основе сингулярной матрицы

Используя уравнения , определяем собственные векторы матрицы

;.

После нормировки

;.

На основании соотношения (8)

определяем псевдообратную матрицу (в примере примем q=1).

.

Решение при «точных» данных

.

Решение при измененной правой части

.

Из полученных результатов видно, что решение задачи с помощью псевдообращения становится менее чувствительным к ошибкам (изменениям) исходных данных.

Порядок выполнения работы

1.В режиме выполнения получить решение на основе сингулярного разложения.

3.Получить решение системы линейных алгебраических уравнений при изменении величины ”нулевого” ‘элемента.

Содержание отчета

1. Краткое описание алгоритма решения методом сингулярного разложения матриц.

2.Результаты решения систем линейных алгебраических уравнений методом ГШО (лабораторная работа№1), методом сингулярного разложения матриц.

3.Сравнить численно устойчивость решения по сравнению с теми методами, которые не используют псевдообращение матриц.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Определение псевдообратной комплексной матрицы для прозвольной матрицы на основе сингулярного разложения. Определение собственных чисел и векторов.

2. Решение системы линейных уравнений. Метод сингулярного

разложения комплексных произвольных матриц. Демонстрационный пример .

3.Решение системы линейных уравнений. Метод сингулярного разложения вещественных произвольных матриц. Демонстрационный пример.

ЛИТЕРАТУРА

1.Вычислительная математика: методические указания к лабораторным работам/Рязан.гос.радиотехн.ун-т; сост. А.Н. Кабанов, Рязань,2008.-48 с.

2.Метод псевдообращения в задачах управления: Методические указания к лабораторной работе. Сост. А.Н. Кабанов. Рязань,1997.-16c.

3.Исследование вычислительных алгоритмов: Методические указания к лабораторной работе. Сост. А.Н. Кабанов. Рязань,1998.-20c.

4. Вычислительная математика: методические указания к лабораторным работам/Рязан.гос.радиотехн.ун-т;сост.Ю.И.Малинин,Рязань,2008.-48 с.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

НА ОСНОВЕ МЕТОДА МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.

(Объем часов - 2)

Цель работы: Теоретическое изучение и практическое освоение с помощью ПЭВМ алгоритмов решения нелинейных уравнений на основе метода минимизации функции многих переменных.

В результате выполнения лабораторной работы студент:

должен знать методику формирования нелинейной функции многих переменных,алгоритм метода минимизации функции.

должен иметь представление о поиске глобального минимума функции,

должен уметь проверять точность и устойчивость решения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. Формирование нелинейной функции многих переменных

Процесс управления предполагает изменение некоторых управляемых величин. Оптимальное управление требует при этом, чтобы некоторая целевая функция (ее также называют критерием или показателем качества) принимала максимальное или минимальное значение. В общем случае целевая функция зависит от многих параметров:

Ф = Ф(X₁,X₂,…,X_n). (1)

Определение оптимального управления сводится к поиску такого набора численных значений переменных, при котором функция Ф достигает экстремального значения. Для определенности будут рассматриваться только минимумы функции.

Функцию можно задавать в виде точного описания последовательности операций над численными значениями переменных X₁,X₂,…,X_n. Функция должна обладать свойством однозначности, т.е. при любом наборе численных значенийX₁,X₂,…,X_n принимать только одно значение.

Будем считать набор численных значений X₁,X₂,…,X_n координатами некоторой точкиn-мерного пространства, которую можно представить вектором. Для такой точки можно подсчитать значения функции. Выделим из совокупности точекn-мерного пространства те точки, которым соответствуют равные значения функции, гдеФ₀– некоторое численное значение. Геометрическое место точек с равными значениями функции называют поверхностью равного уровня. Изменив уровеньФ₀ функции, получим другую поверхность равного уровня, причем различные поверхности равных уровней вложены одна в другую, но нигде не соприкасаются. Отсутствие общих точек у этих поверхностей непосредственно следует из свойства однозначности функции.

Градиентом функции будем называть вектор

, (2)

где частные производные функции вычислены в точке. Вn-мерном пространстве градиент направлен перпендикулярно (нормально) к поверхности равного уровня в точкеи указывает направление наискорейшего возрастания функции. Противоположный по направлению вектор, называемый антиградиентом, дает направление наискорейшего убывания функции. В различных методах поиска минимума функции можно выделить два основных этапа: определение направления и минимизацию функции в этом направлении. Методы минимизации многомерных функций различаются способами реализации этих этапов. В одних методах векторы направлений наперед заданы (координатный спуск в методе Гаусса-Зейделя), а в других выбор направления зависит от поведения функции как, например, в рассматриваемом градиентном методе Давидона-Флетчера-Пауэлла (ДФП). Второй этап – минимизация функции в выбранном направлении – представляет собой одномерный поиск и наиболее трудоемкую часть процесса. Рассмотрим теперь подробнее градиентный метод ДФП.

Исходные данные: начальная точка поиска ; градиент функции; градиент функции в начальной точке нормируется по уравнению, где;; начальная матрицаn×n, равная единичной матрице,H(1,1) =E[1,1]; ε - коэффициент, задающий точность одномерного поиска; Δ – точность поиска минимума функции.

1. Вычисляем вектор направления .(3)

2. Формируем вектор (4)

и, изменяя параметр α, проводим в направленииодномерный поиск минимума функции. По его результатам определяем положение оптимальной конечной точки на этом направлении:;.

Начальное значение шага одномерного поиска α₀принимается равным 1, если выполняется условие, иначе величина уменьшается. регулировка масштаба одномерного поиска заложена в формуле (3), так как величина модулязависит от модуля градиента и по мере приближения к минимуму функции неограниченно убывает. Уменьшение шага поиска по мере приближения к минимуму многомерной функции является необходимым, иначе трудно будет достаточно точно определить координаты этого минимума.

3. Вычисляем градиент и приращение градиента

Ξ

. (5)

4

Ξ

. Находим новую матрицуНпо рекуррентной формуле

Ξ

Ξ

Ξ

Ξ

. (6)

5. Переходим на этап 1 с новыми начальными условиями.

О

Ξ

Ξ

тметим некоторые вычислительные особенности метода ДФП. Метод подвержен накоплению ошибок, вследствие чего рекомендуется время от времени «забывать» накопленную информацию и начинать вычислительный процесс заново. Для этого необходимо предусмотреть «обновление» расчетов. Оно заключается в замене с некоторой периодичностью (обычно черезnили 2nитераций) текущей матрицыНединичной матрицейЕ.При обновлении на каждой итерации метод ДФП превращается в метод наискорейшего спуска.

При расчете на ЭВМ первая производная функции по некоторому параметру X_iзаменяется первой разделенной разностью

, (7)

где X₁, X_i, X_n - координаты точки, в которой вычисляется производная.

Для метода ДФП рассматриваются 2 варианта реализации, которые различаются только методами одномерного поиска. В первом варианте применяется метод золотого сечения, во втором – квадратичная аппроксимация. Рассмотрим кратко эти методы.