4.2. Быстрое преобразование Уолша

Функции Уолша обладают интересными свойствами, привлекающими к ним все большее внимание. Они принимают всего два значения {+1 или -1} и потому удобны для вычислений на ЭВМ. Существует различное упорядочение функций Уолша .Рассмотрим одну из возможных систем функций Уолша – систему Уолша-Адамара. Элементарная матрица Адамара, состоящая из одного элемента (N=1), имеет вид H₁=[1]. Для N=2 элементами матрицы Адамара будут элементарные матрицы ( H₁): . Для N = 4 элементами матрицы Адамара будут матрицы ( H₂):

. Для N=2ⁿ имеем .

Дискретное преобразование Уолша, как и дискретное преобразование Фурье, представляется в матричной форме:

FY=H_N*S/N; S= (H_N)^T*FY.

Здесь FY-коэффициенты спектрального разложения по функциям Уолша, S-дискретные временные отсчеты сигнала.

Быстрое преобразование Уолша (БПУ) можно получить из формулы для БПФ (10),исключив фазосдвигающие составляющие.

Матрица преобразований упрощается и имеет вид:

.

Коэффициенты спектрального разложения по функциям Уолша имеют прямую последовательность в отличие от БПФ, имеющей последовательность с двоично-инверсными номерами.

4.3. Быстрое преобразование Хаара

Преобразование Хаара основывается на использовании ортогональной матрицы Хаара. Приведем пример матрицы Хаара четвертого порядка: и матрицы Хаара восьмого порядка:

	1	1	1	1	1	1	1	1
1		1	1	1	-1	-1	-1	-1
21/2		21/2	-21/2	-21/2	0	0	0	0
0		0	0	0	21/2	21/2	-21/2	-21/2
2		-2	0	0	0	0	0	0
0		0	2	-2	0	0	0	0
0		0	0	0	2	-2	0	0
	0	0	0	0	0	0	2	-2

Для записи алгоритма БПХ введем следующие обозначения матриц:

U02=[1 1]; U12=[1 -1]; I₂= ;

, где , ∑ - знаки прямой суммы.

.

Таким образом, матрица Хаара представлена в виде произведения «n» слабо заполненных матриц.

Быстрое преобразование Хаара - самое быстрое из используемых ортогональных функций.

Дискретное преобразование Хаара, как и дискретное преобразование Фурье, представляется в матричной форме:

;

.

.

Здесь использовано правило для транспонирования произведения матриц: [M1*M2*M3]^Т=[М3^Т*М2^Т*М1^Т].

Коэффициенты спектрального разложения по функциям Хаара имеют прямую последовательность в отличие от БПФ, имеющей последовательность с двоично-инверсными номерами.