МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

"РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ"

Вечерний факультет

Кафедра дистанционных образовательных технологий

Кафедра автоматизированных систем управления

Методические указания к лабораторным работам по дисциплине "Вычислительная математика "

Направление подготовки – 230400_62 «Информационные системы и технологии»

Квалификация выпускника – бакалавр

Форма обучения –заочная

Рязань 2013 г.

Пояснительная записка

Работы проводятся на факультете ”Автоматики и информационной технологии в управлении ” для направления подготовки – 230400_62 «Информационные системы и технологии» .

Общий объем занятий 28 часов.

Целью данных лабораторных работ является обучение студентов

- реализации важнейших вычислительных алгоритмов с помощью современных математических программных систем,

- практическим методам анализа важнейших вычислительных алгоритмов математических вычислений, реализуемых на ЭВМ.

С учетом важности знаний по оперативным методам обработки

лабораторные работы предусматривают исследование ряда методов повышения оперативности реализации вычислительных алгоритмов.

Форма проведения работ – сочетание обучения на демонстрационных примерах и выполнения контрольных заданий.

Форма текущего контроля выполнения - проверка результатов выполнения демонстрационных и контрольных примеров.

Форма итогового контроля выполнения - проверка отчета и собеседование.

Лабораторная работа №1

Математические методы повышения устойчивости решения СЛАУ.Метод ортогонализации Грамма-Шмидта.

(Количество часов -2 час. )

Цель работы: Теоретическое и практическое освоение с помощью ПЭВМ

алгоритма устойчивого решения систем линейных уравнений методом ортогонализации Грамма-Шмидта.

В результате выполнения лабораторной работы студент:

должен знать метод реализации алгоритма ,

должен иметь представление о реализации метода с помощью

пакета EXCEL.

должен уметь проверить достоверность решения.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Определение псевдообратной матрицы для произвольной матрицына основе метода ортогонализации Грамма-Шмидта (гшо)

1. Столбцы матрицы , которые обозначим, преобразуются методом ГШО в ортогональные векторы (не обязательно, чтобы они получились ортонормированными). Из множества этих векторов образуется матрица.

Ортогонализация столбцов матрицы методом ГШО производится по уравнениям ;

, (10)

где .

Здесь - норма вектора, определяемая выражением.

Сравнивая нормы векторов , принимают решение об обнулении вектора с малой нормой.

2. Столбцы матрицыпереставляются с помощью матрицы перестановоктаким образом, что

, (11)

где

Матрица перестановок может быть подобрана следующим образом. Если требуется поменять местамиi – столбец и j – столбец, то в единичной - матриценужно сделать следующие замены:;. В общем случае матрицаможет включать произведение нескольких перестановочных матриц.

3. Столбцы исходной матрицыпереставляются с помощью матрицы перестановок, применяемой в п.2. При этом получают новую матрицу со столбцами, которые обозначим, например, так:

;

.

4. Вычисляются вспомогательные коэффициенты

5. Вычисляется матрица размеромс элементами

.

6. Вычисляется матрица размеромс элементами

7. Вспомогательная матрица находится методом ГШО из столбцов матрицы, т.е. к столбцам матрицы, сформированной из двух матриц , , применяют процедуру, аналогичную процедуре (10), но с тем отличием, что после получения каждого ортогонального вектора, начиная с первого вектора, его нормируют путем деления всех компонентов вектора на его норму. Условно эту процедуру можно представить в виде следующей цепочки преобразований:

.

Здесь размер матриц ;

;;.

8. Вычисляется матрица .

9. Используя матрицу, полученную в (11), вычисляем матрицу

.

10. С помощью вспомогательных матриц ,,,,, вычисленных в пп. 2, 5, 6, 8, 9, определяется псевдообратная матрица

.

Оценка коэффициентов линейной регрессии определяется выражением .

Пример 1.Получение устойчивого решения системы линейных уравнений на основе использования псевдообратных матриц.

Система уравнений имеет вид

Её точное решение:

Рассмотрим систему с измененной правой частью:

Её точное решение: , т.е. решение неустойчиво.

Как и ранее, исследуем матрицу системы на обусловленность. Матрица в данном случае симметрична. Тогда на основании того, что , имеем

Обусловленность матрицы , т.е. матрица системы плохо обусловлена и необходимо применять методы повышения устойчивости решения. Рассмотрим этот метода.