Композиция двумерных преобразований

Понятие композиции было введено в предыдущем разделе.

В данном разделе мы покажем, каким образом можно использовать композицию преобразований для объединения фундаментальных матриц R, S и M с целью получения желаемых общих результатов.

Основное преимущество объединенных преобразований состоит в том, что к точке более эффективно применять одно результирующее преобразование, чем ряд преобразований друг за другом.

Рассмотрим, например, поворот объекта относительно некоторой произвольной точки Р₁. Поскольку поворот производится вокруг начала координат, разобьем исходную (трудную) задачу на три более легкие задачи.

Таким образом, чтобы произвести поворот относительно точки Р₁, необходимо выполнить последовательно три элементарных преобразования:

1. Перенос, при котором точка Р₁ перемещается в начало координат.

2. Поворот объекта вокруг начала координат.

3. Перенос, при котором точка из начала координат возвращается в первоначальное положение Р₁.

Эта последовательность показана на рис., на котором вокруг точки P₁(x, у) поворачивается контур домика. Первый перенос производится на (—х —y), в то время как последующий — на (x y) — является обратным ему. Результат существенно отличается от того, который получился бы, если бы применялся один только поворот.

Результирующее преобразование имеет вид

1 0 0 cosΘ sinΘ 0 1 0 0

0 1 0 * - sinΘ cosΘ 0 * 0 1 0

-x -y 1 0 0 1 x y 1

cosΘ sinΘ 0

- sinΘ cosΘ 0

x* ( 1 – cosΘ ) + y * sinΘ y* (1 – cosΘ ) – x * sinΘ 1

Эта композиция преобразований путем умножения матриц служит примером того, как применение однородных координат упрощает задачу.

Используя аналогичный подход, можно промасштабировать объект относительно произвольной точки Р₁: перенести Р₁ в начало координат, промасштабировать, перенести назад в точку Р₁. Результирующее преобразование в этом случае будет иметь вид

1 0 0 S_x 0 0 1 0 0

0 1 0 * 0 S_y 0 * 0 1 0 =

-x₁ -y₁ 1 0 0 1 x₁ y₁ 1

S_x 0 0

= 0 S_y 0

x₁ * (1 – S_x) y₁ * (1 – S_y) 1

Предположим, что нам необходимо промасштабировать, повернуть и расположить в нужном месте изображение, где центром поворота и масштабирования является произвольная точка Р₁.

Последовательность преобразований:

- перенести точку Р₁ в начало координат,

- провести масштабирование,

- провести поворот,

перенести точку Р₁ из начала координат в новую позицию Р₂, в которой должно оказаться изображение.

В структуре данных, в которой содержится это преобразование, могут находиться масштабный множитель (множители), угол поворота и величины переноса или может быть записана матрица результирующего преобразования:

M(-x₁ - y₁) * S(S_x S_y) * R(Θ) * M(x₂ y₂)

Если известно, что М1 и М2 представляют собой элементарные перенос, масштабирование или поворот, то при каких условиях М1 и М2 коммутативны?

В общем случае умножение матриц некоммутативно. Однако в следующих частных случаях коммутативность имеет место:

М1	М2
Перенос	Перенос
Масштабирование	Масштабирование
Поворот	Поворот
Масштабирование (при Sx=Sy)	Поворот

В этих случаях порядок перемножения матриц неважен.